Coordenadas en el Espacio 1 I NTRODUCCIÓN Para aplicar el cálculo a muchas situaciones reales y las matematic as avanzadas, necesitamos una descripción matematica del espacio tridimensional. En este caso presentamos los sistemas de coordenadas y los vectores tridimensionales. Con base en nuestros conocmientos acerca de las coordenadas en el plano xy . Los vectores permiten estudiar la geometria analitica del espacio, facilitando la descripción de las rectas, planos superficies y curvas en el espacio.
2 S ISTEMAS DE C OORDENDAS T RIDIMENSIONALES Para localizar un punto en el espacio usamos tres ejes de coordenadas mutuamente perpendiculares, ordenados como en la figura 1.
Figura 1.
Las coordenadas cartesianas
El sistema coordenado cartesiano
x, y,z
de un punto P en el espacio son los
números reales correspondientes a las intersecciones de los ejes con los planos que pasan por P y son perpendiculares a los ejes.
Las coordenadas cartesianas del espacio también se conocen como coordenadas rectangulares pues los ejes que las definen se cortan en ángulo recto. Los puntos sobre el eje x tienen coordenadas y,z iguales a cero. Es decir tienen coordenadas de la forma x,0,0 . De manera análoga, los puntos sobre el eje y tiene coordenadas de la forma
0, y,0
y los puntos sobre el eje z
tienen coordenadas de la forma 0,0,z . Los planos de determinados por los ejes coordenados son el plano xy , cuya ecuación estándar o canónica es z 0 ; el plano yz ; cuya ecuación estándar es x 0 ; y el plano xz , cuya ecuación estándar es y 0 . Estos planos se cortan en el origen
0,0,0 .
Los tres planos coordenados x 0,y 0 y z 0 dividen en ocho celdas llamadas octantes. E octante donde todas las coordenadas de un punto son positivas se conoce como primer octante; no hay numeración convencional para los otros siete octantes.
3 E JERCICIOS Describa los conjuntos de puntos dados en el espacio cuyas coordenadas satisfacen las desigualdades o las combinaciones de ecuaciones y desigualdades dadas.
1. x y z 1 2
2
2
Solución La esfera sólida de radio 1 centrado en el origen
2. x y z 1 2
2
2
Solución El exterior de la esfera de radio 1 centrado en el origen
3. x 0, y 0, z 0
Solución El primer cuadrante del plano xy
4. x y; sin restricción sobre z
Soluciรณn El plano y = x que consiste en todos los puntos de la forma (x, x, z)