[CALCULO VECTORIAL] Unidad I
Coordenadas Esféricas Las coordenadas esféricas p, , de un punto P en el espacio se ilustran en la siguiente figura 2
Figura 1.
Coordenadas Cilíndricas
Donde P OP es la distancia del origen a P , es el mismo ángulo que las coordenadas cilíndricas, y
es el ángulo entre el semieje
positivo z y el segmento de la recta OP . Note que:
0,0 El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto. Por ejemplo:
Coordenadas Esféricas
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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I
Esfera p c
Coordenadas Esféricas
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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I z
x
y
semiplano vertical c
Coordenadas Esféricas
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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I
Semicono : c 0 c 2 Para convertir de coordenadas esféricas a rectangulares empleamos las ecuaciones: x sen cos y sen sen , z cos
(1.1)
Del mismo modo, la fórmula de la distancia muestra que:
2 x2 y 2 z 2
(1.2)
Ejercicios Propuestos Ejercicio 1 El punto dado esta dado en
coordenadas esféricas
2, / 4, / 3
encuentre sus coordenadas rectangulares Coordenadas Esféricas
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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I (rho,theta,phi) = (2,pi/4,pi/3)
z
x
y
De las ecuaciones anteriores tenemos 3 1 3 x sen cos 2sen cos 2 2 3 4 2 2 3 1 3 y sen sen 2sen sen 2 2 2 2 3 4 1 z cos 2cos 2 1 3 2
Por lo tanto el punto 2, / 4, / 3 es
3 / 2, 3 / 2,1
en coordenadas
rectangulares. Coordenadas Esféricas
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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I
Ejercicio 2 El punto P(0,2 3, 2) esta dado en coordenadas rectangulares. Encuentre sus coordenadas esféricas. (x,y,z) = (0,2sqrt(3),-2) z x
y
De las ecuaciones anteriores tenemos que:
x2 y 2 z 2 0 12 4 4 Y por lo tanto las ecuaciones dan:
Coordenadas Esféricas
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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I
cos cos
z
2 1 2 4 2 3
x 0 sen 2
Por lo tanto las coordenadas esféricas del punto dado son
4, / 2,2 3 Ejercicio 3 Encuentre
una
ecuación
en
coordenadas
esféricas
para
el
hiperboloide de dos hojas con ecuación x2 y 2 z 2 1 Solución
Sustituyendo una ecuación en coordenadas esféricas para el hiperboloide de dos hojas con ecuación anteriores Coordenadas Esféricas
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[CALCULO VECTORIAL] Unidad I
2 sen 2 cos 2 2 sen 2 sen 2 2 cos 2 1 2 sen2 cos 2 sen2 cos 2 1 2 sen2 cos 2 cos 2 1 Ejercicio 4 Hallar una ecuación de coordenadas cilíndricas para la superficie presentada para la siguiente ecuación rectangular y 2 x Solución
La gráfica de la superficie y 2 x es un cilindro parabólico con rectas generatrices paralelas al eje z Sustituyendo y
2
como se muestra en la figura.
por r sen y x por r cos , se obtiene la ecuación 2
2
siguiente en coordenadas cilíndricas
Coordenadas Esféricas
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y2 x r 2 sen 2 r cos r rsen 2 cos 0 rsen 2 cos 0 cos sen 2 r csc cot ecuación cilindrica r
Coordenadas Esféricas
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