Segundo departamental 1 CURVATURA
La curvatura es una medida de cuanto se dobla una curva. Se utiliza para estudiar las propiedades geométricas de las curvas y del movimiento a lo largo de las curvas y tiene aplicaciones en diversas áreas como el diseño de las montañas rusas (figura 1), óptica cirugía oftalmológica.
Figura 1. La curvatura es un elemento clave en el diseño de las montañas rusas. Ahora imagínese caminando siguiendo una trayectoria y observando como el vector tangente T cambia de dirección (figura 2). Un cambio en T indica que la trayectoria se está doblando y conforme más rápido cambie T , más rápido se dobla la trayectoria.
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Figura 2. El vector tangente unitario cambia de dirección pero no de longitud Así,
dT dt
para ser una buena medida de curvatura. Sin embargo
dT depende de lo dt
rápido que usted camine (cuando camine más rápido, el vector unitario cambia más rápido). Se supondrá así que usted camina a celeridad unitaria. En otras palabras, la curvatura es la magnitud (s)
dT dt
, donde s
es el parámetro de una
parametrización por la longitud de arco. Recuerde que r(s) es una parametrización por la longitud de arco. Recuerde que r(s) es una parametrización por la longitud de arco si
r(s) 1 para todo s . DEFINICIÓN Curvatura Sea r(s) una parametrización por la longitud de arco y T el vector tangente unitario. La curvatura en r(s) es la cantidad (que se denota por la letra minúscula griega “kappa”):
(s)
dT ds
(1)
En la práctica suele ser imposible hallar la parametrización por la longitud de arco de forma explícita. Afortunadamente, se puede calcular la curvatura utilizando cualquier otra
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parametrización r(t) . Para obtener una formula, se necesitan los dos siguientes resultados. En primer lugar, observe que T(t) y T '(t) son ortogonales. En segundo lugar, s es una función s(t) del tiempo t , por lo que las derivadas de T respecto a t y a s están relacionadas por la regla de la cadena. Denotando la derivada respecto a t con una prima se tiene:
T '(t) Donde v(t)
dT dT ds dT v(t) dt ds dt ds
ds r '(t) es la celeridad de r(t) . Como la curvatura es la magnitud dt
dT se obtiene: ds
T '(t) v(t)(t) TEOREMA 1 Fórmula para la curvatura Si r(t)
es una parametrización regular,
entonces la curvatura en r(t) será:
(t)
r '(t) r ''(t) r '(t)
3
(2)
EJEMPLO 1 Curva cúbica torcida Calcule la curvatura t de la cubica torcida r(t) t,t ,t 2
3
.A
continuación, represente gráficamente t y determine donde la curvatura es mayor.
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Solución Las derivadas son:
r '(t) 1,2t,3t 2 , r ''(t) 0,2,6t La parametrización es regular pues r '(t) 0 para todo t , por lo que se puede utilizar la
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i
j
k
1 2t 2t 3t 2 1 3t 2 j k r '(t) r ''(t) 1 2t 3t i 0 2 2 6t 0 6t 0 2 6t 2
r '(t) r ''(t) 6t 2i 6tj 2k t
r '(t) r ''(t) r '(t)
3
36t 4 36t 2 4
1 4t
2
9t 4
3/2
La gráfica de (t) en la figura 3 muestra que la curvatura máxima se alcanza en t 0 . En la figura 3 se ilustra la curva r(t) . La representación se ha coloreado según la curvatura, donde el color azul representa mayor curvatura y el color verde menor.
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Figura 3. Gráfica de la curvatura (t) de la curva cúbica torcida r(t) t,t ,t 2
Figura 4. Gráfica de la curva cúbica torcida r(t) t,t ,t 2
3
3
coloreada según la
curvatura.
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Se comentó que la curvatura de una gráfica y f(x) debe involucrar algo más que la derivada segunda f ''(x) . A continuación se prueba que la curvatura se expresa en términos de f ''(x) y de f '(x) . TEOREMA 2 Curvatura de una gráfica en el plano La curvatura en el punto x,f(x) de la gráfica de y f(x) es igual a:
(x)
f ''(x)
1 f '(x)2
3/2
(3)
EJEMPLO 2 Calcule la curvatura de f(x) x 3x 4 en x 0,1,2,3, 3
2
Figura 5. Gráfica de f(x) x 3x 4 3
2
Solución Aplicando la ecuación (3)
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f '(x) 3x 2 6x 3x x 2 x
f ''(x)
1 f '(x) 2
3/2
f ''(x) 6 x 6 6x 6
1 9x 2 x 2
2
3/2
Se obtiene los siguientes valores
(0) (2)
6
1 0
3/2
6 (1)
3/2
6 (3)
6
1 0
0
1 9
3/2
0
12 ~ 0.016 823/2
La figura 6 muestra la gráfica se dobla más aquellos puntos donde la curvatura es mayor.
Figura 6. Grafica de la curvatura
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EJEMPLO 3 Hallar la curvatura
de la curva
r(t) a cos t i bsen t j Solución Hallamos la primera derivada del radio vector
r '(t) a sen t i b cos t j Posteriormente hallamos el vector tangente
T(t) T(t)
T(t) T( t) T(t )
a sen t i b cos t j a sen t i b cos t j
a sen t i b cos t j
asen t b cos t 2
a sen t i b cos t j a sen t b cos t 2
2
2
2
2
2
asen t i b cos t j a2sen2 t b2 cos2 t
2
asen t i bcos t j a2sen2 t b2 cos2 t
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Procedemos con la derivada del vector tangente para hallar el vector normal
dtd asen t i b cos t j asen t i b cos t j dtd a sen t b cos t a sen t b cos t 1 a sen t b cos t a cos t i b sen t j asen t i b cos t j a sen t b cos t 2 a sen t cos t b cos t sen t 2 T '(t) T '(t)
a2sen2 t b2 cos2 t
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1/ 2
2
2
a2sen2 t b2 cos2 t
a sen t b 2
2
2
a sen t b 2
T '(t) T '(t)
T '(t) T '(t)
cos2 t a cos t i b sen t j asen t i b cos t j a2 sen t cos t b2 cos t sen t 2
2
cos t 2
a sen t b cos t 2
2
2
1/ 2
2
a3 sen2 t cos ti a2b sen3 tj b2a cos3 ti b3 cos2 tsen tj a3sen2 t cos ti ab2 cos tsen2 ti ba2 cos2 tsen tj b3 cos2 tsen t
a2sen2 t b2 cos2 t
a2b sen t sen2 t cos2 t j b2a cos t cos2 t sen2 t i a sen t b cos t 2 2 a b sen tj b a cos ti 2
2
a2sen2 t b2 cos2 t
2
2
3/ 2
3/2
3/2
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Ahora calculamos la curvatura primero obtenemos la magnitud del vector tangente y radio vector
ab sos t a bsen t 2
2
T '(t)
a sen t b cos t 2
T '(t)
2
2
3/2 2
2
a2b 4 2 cos2 t a4b2 2sen2 t a sen t b cos t 2
T '(t)
2
2
2
2
a2b2 2 b2 cos2 t a2sen2 t
a2sen2 t b2 cos2 t ab T '(t) 2 a sen2 t b2sen2 t
3
3
2
r '(t) a2sen2 t b2 cos2 t ab 2 2 T'(t) a sen t b sen t r '(t) a2sen2 t b2 cos2 t 2
2
T'(t) ab r '(t) a2sen2 t b2 cos2 t
3 /2
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RESUMEN
Una parametrización r(t) se denomina regular si r '(t) 0 para todo t . Si
r(t) es regular, se define el vector unitario tangente como T(t)
La
curvatura se
define como
dT ds
(s)
,
donde r(s)
r'(t) r '(t) es
una
parametrización por la longitud de arco.
En la práctica se calcula la curvatura utilizando la siguiente formula, que es cierta para una parametrización regular arbitraria:
(t)
r'(t) r''(t) r '(t)
3
La curvatura en un punto de una gráfica y f(x) en el plano es:
(x)
f ''(x)
1 f '(x) 2
3/2
Si T '(t) 0 , se define el vector normal unitario como N(t)
T '(t) (t) v(t)N(t)
T '(t) T '(t)
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