[TRANSFORMADA DE LAPLACE] UNIDAD 3
Definición de la transformada de Laplace Definición y primeras observaciones En la gran mayoría de los sistemas de interés para la física y la ingeniería es posible (al menos en principio) predecir su comportamiento futuro partiendo de condiciones dadas en un determinado tiempo, el cual podemos desde luego suponer que es t 0 . Solo en muy contados ejemplos es factible predecir el comportamiento pasado del sistema. En lo que sigue nos ocuparemos solamente de la parte de las funciones f (t ) definida para valores t 0 , sin darle importancia a lo que sucede para t 0 . Con esta aclaración podemos enunciar lo siguiente definición de la transformada de Laplace, en ocasiones denominada unilateral. La transformada de Laplace (TL) de una función f (t ) se define mediante:
L f (t ) F ( s) e st f (t )dt 0
Para todos los valores s anterior sea convergente.
para los cuales la integral impropia
Si L f (t ) F (s) , diremos también que f (t ) es la transformada inversa de Laplace de F ( s) se le suele representar mediante el esquema: f (t ) F (s)
Observaciones 1. Recordemos que una integral impropia como lo anterior se define como un limite de integrales sobre intervalos finitos, es decir:
0
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R
e st f (t )dt lim e st f (t )dt x 0
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Si el límite existe. El resultado de la integral será en general una función que depende de s . Al calcular una TL no siempre se especifica el rango de valores de s para los cuales la integral existe; no obstante en algunos casos es recomendable determinarlo. 2. En ocasiones a esta transformada se le llama unilateral. Podemos ampliar la definición dada la TL bilateral. Esta es
L f (t ) F (s) e st f (t )dt
No obstante, el manejo y aplicación de esta tiene otras complicaciones debidas en parte a problemas de convergencia que caen fuera del alcance e interés de este curso. Calculo de TL Usaremos la definición para calcular la TL de algunas funciones Ejemplo 1 Calcular la TL de la función escalón unitario 0, si t 0 u (t ) 1, si t 0
Usando la definición de la transformada de Laplace
U ( s) e u (t )dt lim 0
st
R
R 0
1 st R e dt lim e R s 0 st
1 1 1 lim e sR 1 lim sR 1 R R s s e
Observemos ahora que el limite anterior existe, solo si s 0 . En este 1 caso, lim e sR lim sR 0 , en consecuencia R R e
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1 1 U ( s) 1 s s
De esta manera, hemos hallado nuestra primera formula de TL: 1 u (t ) , s 0 s
Ejemplo 2 Calcular la TL de la función e2t , si 0 t 1; f (t ) 4, si 1 t.
Partiendo de la definición de la TL
1
0
0
L f (t ) e st f (t )dt e st e 2t dt e st 4dt e 1
1
2 s t
0
dt 4 e st dt 1
(2 s ) t 1
e sR e s e2s e 1 4e s 4 lim R 2s 0 s s 2 s 2 s s 1 e 4e s , para s 0 y s 2 s2 s 2 s
Para s 2 , se reduce la integral
1
1
F (2) e2t f (t )dt e2t e2t dt e 2t 4dt dt 4 e 2t dt 0
1 4 lim 2e R
0
2 t R 1
1 2e
1
0
1
2
Entonces: 1 e 2s 4e s , si s 0 y s 2 L f (t ) F ( s ) s 2 s 1 2e2 , si s 2
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Ejemplo 3 Aplique el teorema, para determinar L f (t ) f (t ) 2t 4 L f (t ) F ( s )
Utilizamos la transformada de Laplace siguiente n!
tn s
n 1
, n es un entero positivo
Por lo tanto
4! 2 L f (t ) 2 t 4 2 41 s F ( s) 2
4! s5
Ejemplo 4 Determine L f (t ) , usando una identidad trigonométrica adecuada: f (t ) cos 2 t L f (t ) F ( s )
Utilizamos las transformadas de Laplace siguientes 1 s 1 ,cos kt 2 s s k2
Y la identidad trigonométrica siguiente cos2 t
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1 1 cos 2t 2 2
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Por lo tanto 1 1 L f (t ) L L cos 2t 2 2 1 1 s 2 2s 2 s 4 1 s2 4 s2 2s 2 4 s2 2 F ( s) 2 s s2 4 2s s 2 4 s s2 4
Ejemplo 5 Aplique la definición de Laplace para determinar L f (t )
0,0 t 1 f (t ) 1, t 1
Por lo tanto
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L f (t ) te 1
st
u t , du dt dt 1 st st dv e , v s e
udv uv vdu
t 1 e st e st dt s s 1 1
1 1 1 1 te st 2 e st e s 2 e s , s 0 s s s s 1
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