[DESIGUALDADES] UNIDAD 1
Desigualdades La Recta numérica es útil para demostrar relaciones de orden entre dos números reales a y b. También se utilizan símbolos los cuales son los siguientes:
, , y se les llama símbolos de desigualdad y a las expresiones a b o b a se les llama desigualdades.
Solución de Desigualdades Nos interesa resolver diversas clases de desigualdades que contengan una variable, si la variable x en una desigualdad como: 8x 4 16 5x
(1.1)
Se sustituye por un número real a y si el resultado es un enunciado correcto se dice que a es una solución de la desigualdad. La palabra resolver quiere decir que se debe determinar el conjunto de todas las soluciones de una desigualdad como la (1.1). A este conjunto se le llama conjunto solución de la desigualdad. Se dice que dos desigualdades son equivalentes si tienen exactamente el mismo conjunto solución. La representación del conjunto solución en la recta numérica es la gráfica de la desigualdad. Una desigualdad se resuelve determinando una desigualdad equivalente que tenga soluciones obvias. La lista siguiente resume tres operaciones que producen desigualdades equivalentes. Propiedades de las Desigualdades Supóngase que a y b son números reales y que c es un número real distinto de cero. Entonces, la desigualdad a b es equivalente a: I. II. III.
acbc ac bc, para c 0 ac bc, para c 0
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Con frecuencia se olvida la propiedad III en palabras III. Dice que: Si una desigualdad se multiplica por un número negativo, entonces se debe invertir la dirección de la desigualdad resultante. Notación Para Intervalos Desigualdades e Intervalos Desigualdad
a xb
Conjunto Solución x | a x b
Notación de Intervalo a, b
a xb
x | a x b
a, b
a xb
x | a x b x | a x b x | a x x | x b x | x b x | a x x | x
a, b a, b a, ,b ,b a, ,
a xb
ax xb xb ax
x
Nombre Intervalo abierto Intervalo cerrado Intervalos Semiabiertos Intervalos no acotados
Gráfica a
b
a
b
b a b b a b b a a
Corresponde aquí presentar una nota precautoria al usar la tabla anterior. Los símbolos infinito menos infinito y mas infinito, no representan números reales y nunca deben manipularse aritméticamente como un número. Los símbolos de Infinito solo son artificios de notación y se usan para indicar no acotamiento en dirección negativa y en la dirección positiva respectivamente. A veces a una desigualdad de la forma a x b se le llama desigualdad simultanea, porque x esta entre los números a y b .
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Propiedades de Valor Absoluto a, si a 0 a a, si a 0 a max a, a , a a 2
a. x sii x b. x c sii c x c c. 0 x c sii a ó
a
d. a sii a ó a e. a b a b f.
a b a b
Ejemplo 1: Solución de una desigualdad no lineal Resolver x 3
6 x2
Solución x 3
6 6 x 3 0 x2 x2
Que se simplifica como x x 1 0 x 2,0,1 x2
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indefinido
0 0 Recta Númerica
2
0
1
Intervalo Signo de x Signo de x 1 Signo de x 2 x x 1 Signo de x2
, 2 2,0 0,1 1, -
+ +
+ + -
+ + + +
El conjunto solución es
, 2 0,1 Ejemplo 2 1 x x
Solución a 0 sii ab 0 1 b x Propiedad x a 0 sii ab 0 b x2 1 0 x 1,0,1 x
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0
indefinido
0
Recta Númerica
1
0
1
Intervalo
, 1 1,0 0,1 1,
Signo de x Signo de x 1 Signo de x 1
x 2 1 Signo de
+ +
+
+ + + +
+ + +
x
El conjunto solución es:
1,0 1, Ejemplo 3 2x 1
1 4
Solución 2x 1
1 1 ó 2 x 1 4 4
1 2 x 1 2 x 2 1 1 2 x 2 x 2 2
La desigualdad puede escribirse 1 1 2 x 2 4 Fundamentos Matemáticos
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1 1 Esto da que x 2 8
Luego 1 1 1 1 x 2 8 2 8 5 3 x 8 8 5 3 , 8 8
Ejercicios Resolver las siguientes desigualdades 1. 2 3x 5 Sol. ,1 1 1 2 x 3 6 Sol. , 2 5 3. 16 x 64 16, Sol.-1,
2.
1 x 2 Sol. 1,1 4 1 1 1 5. 1 x 1 x Sol. ,- 2 3 5 6. 3x 2 1 6 x, Sol. 1,
4. 3x 5
7. x2 1 0, Sol. 1,1 8. x2 9 x 20 0, Sol. 5, 4 9. x x 1 x 2 0, Sol. 0,1 2, 10.
1 5 x 2 x 1 3x 5 0, Sol. ,0 , 2 3
11.
x3 2 x2 x 0, Sol.0,
12.
x2 4 x 4 0, Sol.2
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13. 14. 15. 16. 17. 18.
1 x, Sol. 1, 1, x 1 x 1, Sol. 0, x x 1 5 , Sol. , 5, x5 4 3 1 5 2, Sol. ,1 , 3x 5 3 x2 9 0, Sol. 3, 1 3, x 1
x2 x 4 2
0, Sol. 2,0 0, 2
19.
x3 x 2 x 3 0, Sol. 0,2
20.
x3 x 3 x 4 0, Sol. 3,
2
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