Ecuaciones con variable separable y ecuaciones reducibles a ellas

[ECUACIONES DIFERENCIALES] UNIDAD 1

Ecuaciones Con Variable Separable y Ecuaciones Reducibles a ellas Si en una ecuación diferencial ordinaria de primer orden y primer dy grado  g ( x, y ) , se reduce a la forma: dx

M ( x)dx  N ( y)dy  0

(1.1)

Donde M es una función solo de x y N es una función sola de y , a esta ecuación se conoce con el nombre de “Ecuación Diferencial Ordinaria de Variable Separable” y la solución general se obtiene por integración directa, es decir:

 M ( x)dx   N ( y)dy  c

(1.2)

Donde c es una constante cualquiera.

La ecuación diferencial de la forma: dy  f  ax  by  c  dx

(1.3)

Donde a, b, c son constantes, se reduce a una ecuación con variable separable haciendo la sustitución z  ax  by  c .

Ejercicios Propuestos Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales a través de los métodos mencionados anteriormente.

1)  y 2  xy 2  y ' x 2  yx 2  0 Solución

y

2

 xy 2  y ' x 2  yx 2  0 , agrupando términos

y 2 1  x 

dy  x 2 1  y   0 . Separando variables tenemos: dx

Variables Separables

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y 2 dy x 2dx   0, Integrando ambos miembros 1 y 1 x y 2 dy x 2dx   1  y  1  x  c . De donde se tiene:  1  y   y  1 y 2 dy y2  1  1 1   dy   1  y  1  y   1  y   1  y dy  1 y2    y  1dy   dy    y  ln 1  y 2 1  y 

 x  1  x  1 x 2 dy x2  1  1 1    1  x  1  x   1  x  dy   1  x dy 

  x  1dy  

1 x2 dy   x  ln 1  x 2 1  x 

Por lo tanto y2 x2   y  ln 1  y   x  ln 1  x  c 2 2 Si multiplicamos por 2 a toda la expresión tenemos

 y 2  2 y  2ln 1  y  x 2  2 x  2ln 1  x  c ó

 x  y  x  y  2   2ln

1 x c 1 y

2)  xy 2  y 2  x  1 dx   x 2 y  2 xy  x 2  2 y  2 x  2  dy  0 Solución Agrupando términos tenemos  y 2  x  1   x  1 dx   y  x 2  2 x  2    x 2  2 x  2  dy  0  

Factorizando tenemos

y

2

 1  x  1 dx   y  1  x 2  2 x  2  dy  0

Variables Separables

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Separando las variables

 x  1 dx x  2x  2 2



 x  1 dx

x

2

 2x  2

y 1 dy  0 Integrando y2  1 

y 1 dy  k de donde y2  1

 u  x2  2 x  2  x  1 dx   x2  2 x  2 du   2 x  2  dx  dx  du  2  x  1  1  x  1 du 1 du 1 1   ln u  ln x 2  2 x  2   2 u  x  1 2 u 2 2  u  y2  1  y  a tan   tan   dy  sec2  d   y 1 du  2 ydy a 2  y 2  a sec  sec  y 2  1 dy  du   y 2  1 dy  dy     arctan y   2y 1 2y sec 2  d dy   2  y2  1 sec 2  1 2 y du 1  d   ln u   2  u 2y  2 1 1  ln y 2  1  arctan y 2 2 Dado lo anterior tenemos 1 1 ln  x 2  2 x  2   ln y 2  1  arctan y  k 2 2 ln  x 2  2 x  2  y 2  1  2arctan y  k   x 2  2 x  2  y 2  1  e

Variables Separables

2arctan y  k 

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c

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dy y2 3) 1  y  e  0 dx x ln x y

Solución Separando variables

1  y  e y dy  y2

dx 0 x ln x

Integrando tenemos



1  y  e y dy 



y2

dx  y  1 e dy  ln ln x  c  c      x ln x  y2 y

d  ey     ln  ln x   c dy  y 

De donde ey ey   ln  ln x   c  ln  ln x    c y y

Ejercicios Complementarios a. y '  ax  by  c, a, b, c constantes sol. b  ax  by  c   a  cebx b. xy 2  xy ' y   a 2 sol. 2 x3 y 3  3a 2 x 2  k 1

xy  1 c. 1  x y  y   xy  1 xy '  0 sol. ln cy  xy   cy 2  e xy xy

2

2

2

2

 x  y y ' 1  n p  x  y   x  y m

d.

sol.

z nm1 z pm1   x  c, n  m  1, p  m  1 n  m 1 p  m 1

Variables Separables

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