2013
Profesor: Gerson Villa Gonzรกlez
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPO: gvilla@ipn.mx
Ecuaciones Diferenciales Nombre: Grupo: Ecuaciones Diferenciales
Calificación Fecha:10-04-2013
Instrucciones:
La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 60%
Problemas de Coeficientes Indeterminados Problema 1 Resuelva las ecuaciones diferenciales por coeficientes indeterminados.
y '' 4 y x 2 3 sen2 x Solución La ecuación auxiliar es:
m2 4 0 Por lo tanto sus raices serían m1 2i m2 2i Entonces la solucion complementaria seria yc c1 cos 2 x c2 sen 2 x
Ahora, puesto que la función de entrada g ( x) x 3 sen2 x es una función 2
senoidal con un polinomio de segundo grado, nuestra tentativa lógica seria de
y p1 A cos2 x Bsen2 x y y p 2 Cx 2 Dx E suponemos con esto una solución particular que tiene también la forma de senoidal, considerando que hay una duplicación obvia en los términos senx y cos x en esta forma tentativa en la función complementaria, podemos eliminar esta repetición con solo multiplicar y p1 por x :
y p Ax3 Bx 2 Cx cos2 x Dx3 Ex 2 Fx sen2 x Encontrando la primera y segunda derivada y sustituyendo en la ED original obtenemos: Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones Diferenciales 2B 4F 0 6 A 8E 0 4C 2 E 3 8 B 6 D 0 12 A 1 Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se obtiene el valor de las constantes:
1 25 1 , B 0, C , D 0, E , F 0, 12 32 16 25 1 1 y p x3 x cos 2 x x 2 sen 2 x 32 16 12
A
Por lo tanto la solución general queda de la siguiente forma:
25 1 1 y c1 cos 2 x c2 sen2 x x3 x cos 2 x x 2 sen2 x 32 16 12 Forma Gráfica
y '' 4 y x 2 3 sen2 x Solución General
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Ecuaciones Diferenciales Problema 2 Resuelva el problema de valor inicial respectivo
y ''' 8 y 2 x 5 8e2 x ,
y(0) 5, y(0) 3, y ''(0) 4
Solución La ecuación auxiliar es:
m3 8 0 Por lo tanto el polinomio quedaria de la siguiente forma
m 2 m 2 2m 4 0 Entonces la raices de la ecuación serían: m1 2 m2 1 i 3 m3 1 i 3 Por lo tanto la solución complementaria seria
yc c1e 2 x e x c2 cos 3x c3 sen 3 x
Ahora, puesto que la función de entrada g ( x) 2 x 5 8e
2 x
es una función
senoidal con un polinomio de segundo grado, nuestra tentativa lógica seria de
y p1 Ax B y y p 2 Cxe 2 x , considerando que hay una duplicación obvia en el término e
2 x
en esta forma tentativa en la función complementaria, podemos
eliminar esta repetición con solo multiplicar y p2 por x :
y p Ax B Cxe2x Encontrando la primera y segunda derivada y sustituyendo en la ED original obtenemos:
1 5 2 A , B ,C 4 8 3 Por lo tanto la solución general queda de la siguiente forma:
Ecuaciones Diferenciales
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1 5 2 y c1e2 x e x c2 cos 3x c3sen 3x x xe2 x 4 8 3 De las condiciones iniciales nosotros obtenemos
c1
23 59 17 , c2 y c3 3 12 24 72
Por lo tanto:
y
23 2 x 17 5 2 59 1 e e x cos 3x 3sen 3x x xe2 x 12 72 8 3 24 4
Forma Gráfica
y ''' 8 y 2 x 5 8e2 x ,
y(0) 5, y(0) 3, y ''(0) 4
Solución general
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Ecuaciones Diferenciales Problema 3 Variación de Parámetros Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por variación de parámetros
ex y '' 2 y ' y 1 x2 Solución La ecuación auxiliar es :
m 2 2m 1 0
m 1
2
0
Por lo tanto la solución complementaria seria: yc c1e x c2 xe x y ex W x e
xe x e2 x x x xe e
Identificando la función
f ( x)
ex 1 x2
Por lo tanto obtenemos
xe x e x x u '1 2 x e (1 x 2 ) 1 x2 e xe x 1 u '2 2 x 2 e 1 x 1 x 2 1 u1 ln 1 x 2 , u2 tan 1 x y 2 Por lo tanto la solución general es 1 y c1e x c2 xe x e x ln 1 x 2 xe x tan 1 x 2 Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones Diferenciales Método Gráfico
y ''' 8 y 2 x 5 8e2 x ,
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y(0) 5, y(0) 3, y ''(0) 4
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Ecuaciones Diferenciales Problema 4 Ecuaciones de Cauchy-Euler Resuelva la ecuación diferencial respectiva
x3 y ''' xy ' y 0 Solución Asumiendo que y x
m
y sustituyendo en la ecuación diferencial, nosotros
obtenemos la ecuación auxiliar siguiente:
m(m 1)(m 2) m 1 m3 3m2 3m 1 m 1 0 3
Por lo tanto la solución general es:
y c1x c2 x ln x c3 x ln x
2
Use la sustitución x e para transformar la ecuación respectiva de cauchy-euler en una ecuación diferencial con coeficientes constantes. Resuelva la ecuación original a través de la nueva ecuación. t
x2 y '' 4 xy ' 6 y ln x 2 Solución Usando la sustitución y sustituyendo dentro de la ecuación diferencial obtenemos lo siguiente:
d2y dy 5 6 y 2t 2 dt dt Por lo tanto la ecuación auxiliar que obtenemos:
m2 5m 6 m 2 m 3 0 .
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Ecuaciones Diferenciales La solución complementaria será:
yc c1e2t c2e3t Usando los coeficientes indeterminados obtenemos una solución particular
y p At B Derivando esta solución particular para obtener la primera y segunda derivada obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
(5 A 6B) 6 At 2t , A 1/ 3, B 5 / 18 Por lo tanto la solución general será:
1 5 1 5 y c1e2t c2e3t t c1x 2 c2 x3 ln x 3 18 3 18 Método Gráfico
Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
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Ecuaciones Diferenciales Problema 5 Determine la solución general de la ecuación diferencial de orden superior.
d4y d2y 7 18 y 0 dx 4 dx 2 Solución Obtenemos la ecuación auxiliar la cual es la siguiente:
m4 7m2 18 0 Lo cual da lugar a las siguientes raíces:
m1 3 m2 3 m3 2i m4 2i Por lo tanto la solución general será:
y c1e3 x c2e3 x c3 cos 2 x c4 sen 2 x Método Gráfico
d4y d2y 7 18 y 0 dx 4 dx 2 Solución General
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Ecuaciones Diferenciales Problema 6 Reducción de orden La función y1 ( x) es una solución a las ecuaciones diferenciales. Use la reducción de orden o la formula, para encontrar una segunda solución y2 ( x)
4 x2 y '' y 0; y1 ( x) x1/2 ln x Solución Identificamos P( x) 0 por lo tanto nosotros tenemos
y2 x ln x 1/2
0 dx e
x ln x
2
1 1/2 x1/2 ln x x ln x
Una segunda solución será entonces y2 x
1/2
Método Gráfico
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