2012
Profesor: Gerson Villa Gonzรกlez
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: 1GM6 gvilla@ipn.mx
Ecuaciones Diferenciales Nombre: Grupo: 1GM6 Ecuaciones Diferenciales
Calificación Fecha:12-04-2012
Instrucciones:
La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 60%
Problemas de Coeficientes Indeterminados Resuelva las ecuaciones diferenciales por coeficientes indeterminados.
y '' 5 y ' 2 x3 4 x2 x 6 Solución La ecuación auxiliar es:
m 2 5m 0 Por lo tanto sus raices serían m1 5 m2 0 Entonces la solucion complementaria seria yc c1e5 x c2 Ahora, puesto que la función de entrada g ( x) 2 x 4 x x 6 es una función 3
2
senoidal con un polinomio de segundo grado, nuestra tentativa lógica seria de
y Ax3 Bx2 Cx E suponemos con esto una solución particular que tiene también la forma de senoidal, considerando que hay una duplicación obvia en los términos senx y cos x en esta forma tentativa en la función complementaria, podemos eliminar esta repetición con solo multiplicar y p por x :
y p Ax 4 Bx3 Cx 2 Dx Encontrando la primera y segunda derivada y sustituyendo en la ED original obtenemos:
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Ecuaciones Diferenciales 20 A 2 12 A 15 B 4 6 B 10C 1 2C 5 D 6 Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior se obtiene el valor de las constantes:
1 14 53 697 , B ,C ,D 10 75 250 625 1 14 53 2 697 y p x 4 x3 x x 10 75 250 625
A
Por lo tanto la solución general queda de la siguiente forma:
y c1e5 x c2
1 4 14 3 53 2 697 x x x x 10 75 250 625
Forma Gráfica
y '' 5 y ' 2 x3 4 x2 x 6 Solución general
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Resuelva el problema de valor inicial respectivo
d 2x 2 x Fo sent , x(0) 0, x ' 0 0 2 dt Solución La ecuación auxiliar es:
m2 1 0 Entonces la raices de la ecuación serían: m1 i m2 i Por lo tanto la solución complementaria seria xc c1 cos wt c2 senwt Ahora, puesto que la función de entrada h Fo sewt es una función senoidal con un
polinomio
de
segundo
grado,
nuestra
tentativa
lógica
seria
de
x p1 A cos wt Bsenwt , considerando que hay una duplicación obvia en el término senwt en esta forma tentativa en la función complementaria, podemos eliminar esta repetición con solo multiplicar x p1 por t :
x p At cos wt Btsenwt Encontrando la primera y segunda derivada y sustituyendo en la ED original obtenemos:
A
Fo ,B 0 2w
Por lo tanto la solución general queda de la siguiente forma: Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones Diferenciales x c1 cos wt c2 senwt Fo / 2w t cos wt De las condiciones iniciales nosotros obtenemos
c1 0 y c2 Fo / 2w2 Por lo tanto:
x Fo / 2w2 senwt Fo / 2w2 t cos wt Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por variación de parámetros
4 y '' 4 y ' y e x /2 1 x 2 Solución La ecuación auxiliar es :
4m 2 4m 1 2m 1 0 2
Por lo tanto la solución complementaria seria: yc c1e x /2 c2 xe x /2 y e x /2 W 1 x /2 e 2
xe x /2 ex 1 x /2 x /2 xe e 2
Identificando la función
1 f ( x) e x /2 1 x 2 4 por lo tanto obtenemos xe x /2e x /2 1 x 2 1 u '1 x 1 x2 x 4e 4 e x /2e x /2 1 x 2 1 u '2 1 x2 x 4e 4
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Ecuaciones Diferenciales 3/2 1 x 1 1 x 2 , u2 1- x 2 sen-1 x y 12 8 8 Por lo tanto la solución general es
u1
y c1e x /2 c2 xe x /2
3/2 1 x /2 1 1 e 1 x 2 x 2e x /2 1 x 2 xe x /2 sen 1 x 12 8 8
Método Grafico
4 y '' 4 y ' y e x /2 1 x 2
Ecuaciones de Cauchy-Euler Resuelva la ecuación diferencial respectiva
25x2 y '' 25xy ' y 0 Solución La ecuación auxiliar será con su solución general:
1 1 25m2 1 0 y c1 cos ln x c2 ln x 5 5 Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones Diferenciales Método Gráfico
25x2 y '' 25xy ' y 0
Use la sustitución x e para transformar la ecuación respectiva de cauchy-euler en una ecuación diferencial con coeficientes constantes. Resuelva la ecuación original a través de la nueva ecuación. t
x2 y '' 3xy ' 13 y 4 3x Solución
d2y dy 4 13 y 4 3et 2 dt dt Por lo tanto la ecuación auxiliar será:
m2 4m 13 0 Por lo tanto la solución complementaria será:
yc e2t c1 cos3t c2 sen3t Ecuaciones Diferenciales
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Ecuaciones Diferenciales Usando coeficientes indeterminados se sugiere que la solución particular sea de la forma:
y p A Bet Por lo tanto obtenemos las siguientes ecuaciones para obtener el valor de los coeficientes:
13 A 10Bet 4 3et Por lo tanto los coeficientes:
A 4 / 13, B 3 / 10 Entonces la solución general será:
y e2t c1 cos3t c2 sen3t
4 3 t e 13 10
Método Gráfico
x2 y '' 3xy ' 13 y 4 3x
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Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes Determine la solución general de la ecuación diferencial de orden superior.
d 3u d 2u 2u 0 dt 3 dt 2 Solución Obtenemos la solución particular la cual será la siguiente:
m3 m2 2 0 y obtenemos las raíces del polinomio característico que son los siguientes
m 1 y m 1 i Por lo tanto la solución general es:
u c1et et c2 cos t c3sent Método Grafico
d 3u d 2u 2u 0 dt 3 dt 2
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Reducción de orden La función y1 ( x) es una solución a las ecuaciones diferenciales. Use la reducción de orden o la formula, para encontrar una segunda solución y2 ( x)
x2 y '' 2 xy ' 6 y 0;
y1 ( x) x 2
Solución Identificamos P( x) 2 / x nosotros tenemos 2/ x dx e 1 y2 x dx x 2 x 6dx x 3 4 x 5 2
Por lo tanto una segunda solución será:
y2 1
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