Ecuaciones Diferenciales 3D

2012

Profesor: Gerson Villa Gonzรกlez

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: 1GM6 gvilla@ipn.mx

Ecuaciones Diferenciales Nombre: SOLUCIÓN Grupo: 1GM6 Ecuaciones Diferenciales

Calificación Fecha: 05-06-2012

Instrucciones: 

La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 60%

Problemas Problema 1 Se encontraron huesos fósiles de un animal. Se analizaron y se detecto que cada hueso contenía una centésima parte del 14C radiactivo. Determinar la antigüedad aproximada de los huesos encontrados.

Solución Planteamiento Supongamos que M (t ) es la cantidad presente de

14

C en cada hueso al cabo de

t años y que M 0 es la cantidad original (inicial) de dicha sustancia radiactiva en cada hueso. M (t ) Esta determinada por la solución:

1 M '(t )  kM (t ), con M (0)  M 0 y además M (5600)  M 0 2 La solución general de la ecuación diferencial es M (t )  Ce , donde C  M 0 . kt

Ahora

1 1 1 k 5600 M (5600)  M 0  M 0e    M 0  e5600 k   2 2 2  ln 2 1  5600k  ln    k   0.000123776 5600 2 Luego

k    1.23776 104 Por lo que

M (t )  M 0e

1.23776104 t

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Ecuaciones Diferenciales Ahora bien considerando que cada hueso contenía una centésima parte del

14

C

radiactivo original, se tiene que:  (1.23776)104 t 1 1 M (t )  M o  M 0e  M0  100 100 1  1   1.23776 104 t e     1.23776 104 t  ln   100  100   ln100 ln100 4 t   10   37205.6795 4  1.23776 10 1.23776

Por lo tanto, la antigüedad (edad) aproximada de los huesos es

t  37206años Problema 2 Una taza de café cuya temperatura es 190°F se coloca en un cuarto cuya temperatura es 65°F. Dos minutos más tarde la temperatura del café es 175°F. ¿Después de cuanto tiempo la temperatura del café será 150°F? Solución Planteamiento del Problema Sea T (t ) la temperatura (en °F) del café en el instante t  0 min. Observamos que:

T (0)  190,Ta  65 y T (2)  175 La ecuación

dT  k (T  65), con T (0)  190 y además T (2)  175 dt Para determinar la temperatura del café en cualquier instante t  0 min. Sabemos que:

T (t )  190  T (0)  65  Cek 0  190  C  125  T (t )  65  125ekt Ahora usamos la segunda condición:

T (2)  175  T (2)  65  Cek 0  190  C  125  T (t )  65  125ekt Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales Ahora usamos la segunda condición:

T (2)  175  T (2)  65  125ek 2  175  e 2 k 

110 22  22    2k  ln    125 25  25 

1  22   k  ln    0.0639  k  0.0639 2  25  Entonces:

T (t )  65  125e0.0639t Que es la temperatura (en ºF) del café en el minuto t  0 Sea t1 el instante en que T (t1 )  150 . Tenemos entonces:

T (t1 )  65  125e0.0639t  150  e0.0639t1  0.68  0.0639t1  ln 0.68   t1 

ln 0.068  6.0354min 0.0639

Por lo tanto deben transcurrir t1  6min , 2s para que la temperatura del café sea de 150ºF Problema 3 1

 1   3  s  4s 

Calcular L 

Observemos que:

 1   2  1 1 s  4  F ( s)     s 3  4s s  s 2  4  s s Por lo tanto

 1  t L1  3    f (u )du ,  s  4s  0

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Ecuaciones Diferenciales Donde

F ( s) 

1 1  2  1 & f (t )  L1 F ( s)  L1  2   sen2t s 4 2 s  4 2 2

De esta manera:

1 1 t  1   1  1  L  3    sen2udu      cos 2u 0  1  cos 2t  4  s  4s  0 2  2  2  1

t

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