Ecuaciones Diferenciales Examen Rapido II

2012

Profesor: Gerson Villa Gonzรกlez

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: gvilla@ipn.mx

Ecuaciones Diferenciales Nombre: Grupo: Ecuaciones Diferenciales

Calificación Fecha: 16-08-2012

Instrucciones:  

La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 40% Cada valor tiene 5 puntos

Problemas Problema 1 Verificar en el siguiente problema si la EDO es exacta si lo es resuélvala, si no lo es encuentre un factor integrante u ( x, y ) para hacerla exacta si es posible y resuélvala.

 x2  y 2  x2  y 2 dy  2x   dx  x2 y  xy 2  Solución

 x2  y 2 1 1  M M  2 x  x2 y  y   y  x 2      2 2 N   x  y  N   1  1  y 2 x2 xy 2  x Luego

M N  a ecuación es exacta, entonces: y x

f ( x, y) tal que

f ( x, y ) f ( x, y )  N de donde M y y x

f ( x, y ) x2  y 2  2x  integrando respecto a x se tiene: x x2 y

 x2  y 2  x y 2 f ( x, y)    2 x  dx  g ( y )  x    g ( y ) , derivando 2 x y  y x 

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Ecuaciones Diferenciales f ( x, y ) x 1   2   g'  y  N y y x x 1 x 1  2   g'  y   2  y x y x Entonces g '( y)  0  g ( y)  c , remplazando:

f ( x, y )  x 2 

x x x x   c  x2    k y y y y

Problema 2 Verificar en el siguiente problema si la EDO es exacta si lo es resuélvala, si no lo es encuentre un factor integrante para hacerla exacta si es posible y resuélvala.

 x  senx  seny  dx  cos ydy  0 Solución

 M  cos y  M  x  senx  seny   y   N  cos y   N  0  x  Como

M N  la ecuación no es exacta y x

Sea

f ( x) 

dx 1  M N  cos y  0   1  u  e   N  y x  cos y

u  e x

 xe

x

 senxe x  senye x  dx  e x cos ydy  0

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Ecuaciones Diferenciales  M  e x cos y    M  xe  senxe  senye  y    x   N  e cos y  N  e x cos y   x x

Como

x

x

M N la ecuación es exacta  y x

f ( x, y) tal que

f ( x, y ) f ( x, y )  N de donde M y y x

f ( x, y)  xe x  e x senx  e y seny integrando respecto a x se tiene: x

f ( x, y )    xe x  e x senx  e x seny  dx  g ( y ) f ( x, y )  xe x  e x  e x seny  e x

 senx  cos x   g ( y) 2

Derivando

 ( x, y )  e x cos y  g '( y )  N y e x cos y  g '( y )  e x cos y Entonces g ( y)  c remplazando en la función

 senx  cosx  f ( x, y )  xe x  e x  e x seny  e x  c 2    senx  cosx   xe x  e x  e x seny  e x  k 2  

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