Examen Rapido 3 Ecuaciones Diferenciales

2012

Profesor: Gerson Villa Gonzรกlez

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: gvilla@ipn.mx

Ecuaciones Diferenciales Nombre: Grupo: Ecuaciones Diferenciales

Calificación Fecha: 30-08-2012

Instrucciones:  

La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 40% Cada valor tiene 5 puntos

Problemas Problema 1 Resolver la siguiente ecuación diferencial como una ecuación lineal de primer orden.

a

2

 x 2  y ' xy  a 2

Solución

x a2  a  x  y ' xy  a  y ' a2  x2 y  a2  x2 2

2

2

Como solución es:  p ( x ) dx   p ( x )dx ye  e Q( x)dx  c    

Donde

P( x) 

x a2  x2

Q( x ) 

Ecuaciones Diferenciales

a2 a2  x2

, remplazando se tiene:

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Ecuaciones Diferenciales ye

y



x dx  a  x2 

 

2

1 ln  a 2  x 2   2  e

y

 

 a2  x2 

xdx

e

 a2  x2

 dx  c  2 2  a x  a2

 dx  c  2 2  a x 

1 ln  a 2  x 2  2 e

a2

  2 dx a   a2  x2 





3/2

   c  

Entonces tenemos

  x y  a  x d    a2  x2   2

2

    c     

  x y  a2  x2   c  2  2  a x  Por lo tanto nuestra solución general quedaría de la siguiente forma

y  x  c a2  x2 Problema 2 Resuelva la siguiente ecuación diferencial si es homogénea, con alguna sustitución adecuada.

 4x2  xy  3y2  dx   5x2  2xy  y2  dy  0 , es homogénea entonces: y  ux  dy  udx  xdu , remplazando en la ecuación

 4x2  x2u  3x2u2  dx   5x2  2x2u  x2u2 udx  xdu   0 , simplificando u3  u2  4u  4 dx  u2  2u  5udx  0 separando las variables se tiene: Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales dx u 2  2u  5  3 du  0 , integrando tenemos x u  u 2  4u  4 dx u 2  2u  5  x   u3  u 2  4u  4du  c , integrando por fracciones parciales se tiene:   y  x

8

 y  2 x 9  c  y  2 x 5

Ecuaciones Diferenciales

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