Examen Rapido IV Ecuaciones Diferenciales

2012

Profesor: Gerson Villa Gonzรกlez

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: gvilla@ipn.mx

Ecuaciones Diferenciales Nombre: Grupo: Ecuaciones Diferenciales

Calificación Fecha: 08-09-2012

Instrucciones:  

La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 40% Cada valor tiene 5 puntos

Problemas Problema 1 Resuelva la ecuación de Bernoulli dada.

xy 1  xy 2 

dy  1, y(1)  0 dx

Solución Rescribimos la ecuación a su forma estándar con respecto a x :

dx  xy  x 2 y 3 dy Donde

P( x)   y , f ( x)  y3, n  2 , remplazando se tiene en: dw  1  n  P( x) w  1  n  f ( x)  dx dw  1  2   y  w  1  2  y 3  dx

 

dw  y  w   y 3 Ecuación Lineal de Primer Orden dx

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Ecuaciones Diferenciales Entonces tenemos que el factor integrante de esta ecuación lineal es:

z( y)  e

p ( y ) dy

z  y   e

ydy



 z  y   e

y 2 /2 

Por lo tanto multiplicando el factor integrante ala ecuación diferencial lineal de primer orden tenemos: y2  dw  e2   y  w   y3    dx  y2 y2 d  2  2 w  e   e y3   dy  

Integramos ambos lados y2 d   w  e  dy  2 dy 

y    e 2 y 3 dy   2



Integración por partes y2

y2

we 2 





e 2  y2  2  c Resultado de la integración por partes

 w  x1 n  w  x1 2  w  x 1 y2

y2





x 1  e 2  e 2  y 2  2  c x 1 

e

y2 2

  y2  2  c  y2

e2 y2

x 1   y 2  2  ce 2 Solución General

Con la condición inicial

y 1  0 

x 1 y0

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Ecuaciones Diferenciales Sustituyendo estos valores en la solución general tenemos y2

x 1   y 2  2  ce 2  (1) 1    0   2  ce 2

 0 2 2



1  2  c  c  1 Por lo tanto la solución particular seria la siguiente:

x

1

  y  2  ce 2

2

 y2



Solución General

dado el valor c  1  y2

x 1   y 2  2  e 2

Solución Particular dada la condición incial

Problema 2 Resuelva la siguiente ecuación diferencial de Ricatti.





dy  e x  1  2e x y  y 2 , y1  x   e x dx Solución Donde





P( x)  e x , Q( x)  1  2e x , R( x)  1 , remplazando se tiene en: dw   Q  2 y1R  w   R  dx dw  1  2e x  2 e x 1 w   1  dx



   

dw  1  w  1 Ecuación Lineal de Primer Orden dx

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Ecuaciones Diferenciales Entonces tenemos que el factor integrante de esta ecuación lineal es:

z ( x)  e 

p ( x ) dx



1 dx z  x   e    z  x   e x

Por lo tanto multiplicando el factor integrante ala ecuación diferencial lineal de primer orden tenemos:

 dw  ex   w  1   dx  d  w  e x   e x   dx Integramos ambos lados

d  x x  dx  w  e  dx   e dx  w  e  x  e x  c  w  u 1  u 1  e x  e x  c u

1



e x  c ex



u 1  1  ce  x  1 1  1  ce x  u  u 1  ce x Entonces la solución de la ecuación es:

y  e x 

1 1  ce x

Solución General

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