ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS DE SEGUNDO ORDEN Segundo Departamental
MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS PARA OBTENER yp Una ecuación diferencial lineal no homogenea de coeficientes constantes, es de la forma:
y '' f(x)y ' g(x) y r(x)
(1)
donde f(x) , y g(x) son constantes. La diferencia con las anteriores ecuaciones estudiadas estriba en que esta igualada a una función de la variable independiente x . Esto nos sugiere una relación entre:
y '' f(x)y ' g(x)y 0 y y '' f(x)y ' g(x)y r(x) Llamaremos yh a la solución general de la ecuación homogenea correspondiente y yp a una solución particular de la no homogenea que podamos encontrar de alguna manera; entonces, se puede establecer el siguiente teorema: TEOREMA 4 Si yh es la solución general de y '' f(x)y ' g(x)y 0 y yp es cualquier solución particular de (1), entonces, y yh yp es la solución general de (1). DEMOSTRACIÓN Supongamos y yh yp es la solución general de (1):
y ' y 'h y 'p y '' y 'h y ''p Sustituyendo en (1):
y ''h y ''p f(x) y 'h y 'p g(x) yh yp r(x)
Agrupando:
1
y ''h f(x)y 'h g(x)yh y ''p f(x)y 'p g(x)yp r(x) Como yh es la solución de la homogénea, el primer paréntesis se hace cero, y como yp es solución de la no homogénea (1), el segundo paréntesis se convierte en r(x) , por lo que:
0 r(x) r(x) Por lo tanto, y yh yp satisface la ecuación (1). Conocida la solución yh por los métodos anteriores, el problema se reduce a encontrar la solución yp son: coeficientes indeterminados y variación de parámetros. El método de variación de parámetros, llamado también método general supone el cambio de constantes c1 y c 2 de la solución yh , por funciones de x . El método de coeficientes indeterminados es más sencillo y se usa para ciertos tipos de la función
r(x) . Aquí, se centra la atención en la búsqueda de yp , por lo que, para hallar yh , se puede recurrir a
Mathematica , con el comando Dsolve . Por ejemplo, yh de y '' 5y ' 6y sen x es:
2
METODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS PARA OBTENER yp Se usa para tres formas de r(x) : r(x) polinomio, r(x) exponencial, r(x) función trigonométrica, o combinaciones de ellas, que pueden resumirsem en form ageneral, de la siguiente manera:
3
r(x) e x Pm x cos x Qn x sen x
Donde
i es raiz de la ecuación auxiliar y Pm x y Qn x son polinomios de grado m y
n , respectivamente. Se busca una solución particular yp de la forma:
yp x ze x pk x cos x qk x sen x Donde k máx m,n ,pk y qk (x) son polinomios en x indeterminados, y z es la multiplicidad de la raíz
de grado k , cuyos coeficientes estan
i de la ecuación auxiliar. La forma de yp ,
se puede resumir en el siguiente cuadro: Raíces de la Forma de y para k máx(m,n) p ecuación auxiliar
Forma de r(x)
Pm x Pm x e
x
Pm cos x Qn x sen x
i 0,i 1,2,...,z Alguna i 0 no es raíz es raíz repetiza
Pm (x) Pm x e x x zpm x e x
z veces (de orden z) i no son raíces pk x cos x qk x sen x
i son raices de xz pk x cos x qk x sen x orden z x e Pm x cos x Qn x sen x i no son e x pk x cos x qk x sen x raíces
i son raices xze x pk x cos x qk x sen x
de orden z EJEMPLO 1
Encontrar yp dada la ecuación y'' 2y' 4y 5x 3x x 4
2
SOLUCIÓN
r(x) 5x 4 3x 2 x y 2 2 4 0; 1 i 3 Por lo tanto, la solución yp tendrá la forma de un polinomio de grado cuarto:
yp Ax 4 Bx 3 Cx 2 Dx E Nótese que aunque faltan terminos del polinomio en r(x) , en la yp deben aparecer todos.
4
El metodo consiste en derivar dos veces la yp y sustituir yp y sus derivadas en la ecuación dada, igualando despues los coeficientes. Así:
y 'p 4Ax3 3Bx 2 2Cx D y ''p 12Ax 2 6Bx 2C Sustituyendo en la ecuación dada:
12Ax 2 6Bx 2C 8Ax3 6Bx 2 4Cx 2D 4Ax 4 4Bx 3 4Cx 2 4Dx 4E y ''
2y '
4y
5x 3x x 4
2
Dado que los coeficientes del primer miembro de la igualdad han de ser igual que los coeficientes del segundo miembro, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
4A 5 8A 4B 0 12A 6B 4C 3 6B 4C 4D 1 2C 2D 4E 0 Donde A
yp
5 5 3 11 7 ; B ; C ; D ; E 4 2 4 4 4
5 4 5 3 3 2 11 7 x x x x 4 2 4 4 4
EJEMPLO 2 Encontrar yp dada la ecuación 9y'' 6 y' y 9 x
3
SOLUCIÓN 2
1 r(x) 9 x y 9 6 1 0; 0 3 3
2
Por lo tanto, la solución yp tendrá la forma de un polinomio de grado tres:
yp Ax 3 Bx 2 Cx D
5
El metodo consiste en derivar dos veces la yp y sustituir yp y sus derivadas en la ecuación dada, igualando despues los coeficientes. Así:
y 'p 3Ax 2 2Bx C y ''p 6Ax 2B Sustituyendo
54Ax 18B 18Ax 2 12Bx 6C Ax 3 Bx 2 Cx D y ''
9x
6y '
y
3
Agrupando terminos semejantes:
Ax3 18A B x 2 54A 12B C x 18B 6C D 9 x 3 Dado que los coeficientes del primer miembro de la igualdad han de ser igual que los coeficientes del segundo miembro, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:
A 1 18A B 0 54A 12B C 0 18B 6C D 9 A 1; B 18; C 162; D 639 yp x 2 18x 2 162x 639 EJEMPLO 3 Encontrar yp dada la ecuación y '' y 8 SOLUCIÓN
r(x) 8 y 2 1 0; 1 1 0 Por lo tanto, la solución yp tendrá la forma de una constante:
yp A
6
El metodo consiste en derivar dos veces la yp y sustituir yp y sus derivadas en la ecuación dada, igualando despues los coeficientes. Así:
y 'p 0 y ''p 0 Sustituyendo
0 A 8 A 8 y ''
y
yp 8 EJEMPLO 4 Hallar yp de la ecuación diferencial y'' 4y 2e
x
SOLUCIÓN Observamos que k 1 La ecuación auxiliar es:
2 4 0
Con raíces
2i; 1 2i; 2 2i
Como k
1 y k 2 , la solución yp tiene la forma yp Ae x ; usando el método de coeficientes
indeterminados se hallan las derivadas, se sustituyen en la ecuación dada y se igualan los coeficientes:
yp Ae x y 'p Ae x y ''p Ae x Ae x 4Ae x 2e x 5Ae x 2e x 5A 2;A
yp
2 5
2 x e 5
7
EJEMPLO 5 Hallar yp de la ecuación diferencial y'' y' 6 y 5e
2x
SOLUCIÓN Observamos que k 2 La ecuación auxiliar de la homogénea correspondiente es: Con raíces
2 6 0
1 3 y 2 2 2 k; por tanto, la solución yp tiene la forma yp Axe2x
Derivando
y 'p 2Axe2x Ae2x y ''p 4Axe2x 4Ae2x Sustituyendo en la ecuación no homogénea e igualando coeficientes:
4Axe2x 4Ae2x 2Axe2x Ae2x 6Axe2x 5e2x y ''
6y
y'
5A 5 A 1 yp xe2x
EJEMPLO 6 Hallar yp de la ecuación diferencial y '' 2y' y 3e
x
SOLUCIÓN Observamos que k 1 y la ecuación auxiliar de la homogénea correspondiente es:
2 2 1 1 0 1 2 1 2
Por tanto, yp tiene la forma y p Ax e 2
x
Derivando:
y ''p Ax 2e x 2Axe x 2Ae x 2Axe x
8
y 'p Ax 2e x 2Axe x
Sustituyendo en la ecuación dada:
Ax 2e x 4Axe x 2Ae x 2Ax 2e x 4Axe x Ax 2e x 3e x y ''
2A 3 A yp
2y '
y
3 2
3 2 x xe 2
EJEMPLO 7 Hallar yp de la ecuación diferencial y 5y''' 9 y'' 7 y' 2y 2e x iv
x
SOLUCIÓN La ecuación homogénea correspondiente es:
yiv 5y''' 9 y'' 7 y' 2 y 0 Cuya ecuación característica es: Con raíces
4 5 3 9 2 7 2 0
1 2 3 1 y 4 2
La parte exponencial de r(x) con k 1, sugiere una solución del tipo Ax e puesto que hay tres 3
x
lambdas iguales a k , y la parte polinomial de r(x) debe ser Bx C un polinomio de primer grado, entonces:
yp Ax 3e x Bx C Derivando:
y 'p Ax 3e x 3Ax 2e x B y ''p Ax 3e x 6Ax 2e x 6Axe x y '''p Ax 3e x 9Ax 2e x 18Axe x 6Ae x yiv p Ax3e x 12Ax 2e x 36Axe x 24Ae x Sustituyendo:
9
Ax 3e x
12Ax 2e x 36Axe x 24Ae x
5Ax 3e x 45Ax 2e x 90Axe x 30Ae x 9Ax 3e x 54Ax 2e x 54Axe x 7Ax 3e x 21Ax 2e x
7B
2Ax 3e x
2C 2Bx 2e x x
0
0
6A 2 A
6Ae x 2Bx 2C 7B 2e x x
0
2 3
1 2 7 2C 7B 0 C 4 1 1 7 yp x 3e x x 3 2 4 2B 1 B
EJEMPLO 8 Hallar yp de la ecuación diferencial
y''
3 y' 2 y 3cos x 2
SOLUCIÓN Donde m 1 La ecuación homogénea correspondiente es:
y''
3 y' y 0 2
Y su auxiliar o característica es:
3 2
2 1 0
Con raíces
10
1 2 1 m y 2 m
1 2 y 2
Por tanto, la forma de yp A cos x Bsenx
yp Ax 3e x Bx C Derivando:
y 'p Asenx Bcos x y ''p A cos x Bsenx Sustituyendo:
3 3 Asenx Bcos x A cos x Bsenx 3cos x 2 2 3 3 A B A cos x B A B senx 3cos x 2 2 A cos x Bsenx
Igualando coeficientes
2A
3 3 2
3 A 2B 0 2 24 18 A y B 25 25 24 18 yp cos x senx 25 25 EJEMPLO 9 Hallar yp de la ecuación diferencial
y'' 4y 12sen2x SOLUCIÓN
11
Donde m 2
La ecuación homogénea correspondiente es:
y'' 4 y 0 Y su auxiliar o característica es:
2 4 0
Con raíces
2i donde 0 y 2 Como m , la solución yp tendrá la forma:
yp x A cos 2x Bsen2x
Derivando:
yp Ax 3e x Bx C Derivando:
y 'p x 2Asen2x 2Bcos2x A cos2x Bsen2x y ''p x 4A cos2x 4Bsen2x 4Asen2x 4Bcos2x Sustituyendo en la ecuación dada:
4Ax cos 2x 4Bxsen2x 4Asen2x 4Bcos 2x 4Ax cos 2x 4Bxsen2x 12sen2x Igualando coeficientes
4A 12 A 3; B 0 yp 3x cos 2x
EJEMPLO 10 Hallar yp de la ecuación diferencial
12
y'' 2 y' y 8cos x
SOLUCIÓN Donde m 1 La ecuación auxiliar de la homogénea correspondiente es:
2 2 1 0
1
2
0
1 2 m 1 yh c1e x c 2 xe x Como 1 i Tomamos yp A cos x Bsenx
Derivando:
y 'p Asenx Bcos x y ''p A cos x Bsenx Sustituyendo en la ecuación dada:
A cos x Bsenx 2Asenx 2Bcos x A cos x Bsenx 8cos x 2B 8 B 4 2A 0 A 0 yp 4senx Comprobación:
y 'p 4cos x, y ''p 4senx 4senx 8cos x 4senx 8cos x
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