2012
Profesor: Gerson Villa Gonzรกlez
Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: gvilla@ipn.mx
Ecuaciones Diferenciales Nombre: Grupo: Ecuaciones Diferenciales
Calificación Fecha: 10-09-2012
Instrucciones:
La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 60% Cada valor tiene 2 puntos
Problemas Problema 1 Verificar, en el siguiente ejercicio que se da a continuación, que las funciones dadas son soluciones de la ecuación diferencial indicada.
x tet dy 1 xy y2 0 t dx ye Solución
y 't e t e t y y' t ,reemplazando la ecuación x 't et tet e 1 t '
et 2t e e 2t e 2t 0 1 xy y ' y 1 t t e 1 t 2
1 xy y ' y 2 0 Problema 2 Resuelva la siguiente ecuación diferencial por separación de variables.
1 y2 dx y
1 y 2 1 x 2
Ecuaciones Diferenciales
3/2
dy
Página 2
Ecuaciones Diferenciales Solución
1 y 2 dx y 1 y 2 1 x 2 dx
1 x
2 1/2
dx
1 x
y 1 y2
2 1/2
1 y
d x dx 2 1 x
2
dy Separando las variables
dy integrando
y 1 y2 1 y2
3/2
dy c entonces
y 1 dy dy c dx 2 2 1 y 1 y
1 y2 c ln 2 2 1 x y 1 y x
Problema 3 Resolver la siguiente ecuación si es homogénea
y xy '2 x2 y 2 Solución
y xy '2 x2 y 2 y xy '
x 2 y 2 , es homogénea
y ux entonces dy udx xdu , remplazando en la ecuación
ux x 2 u 2 x 2 dx x udx xdu 0 entonces: u 1 u 2 dx udx xdu 0 , simplificando 1 u 2 dx xdu 0
Ecuaciones Diferenciales
dx du 0 , integrando 2 x 1 u Página 3
Ecuaciones Diferenciales
dx du c ln x ln u 1 u 2 c x 1 u2
x u 1 u 2 k Para u
y 2 2 se tiene y x y k x
Problema 4 Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal
x x3 1 y ' 2 x3 1 y
x3 2 x
Solución
x3 2 3 dividiendo entre x x 1 entonces: x x 1 y ' 2 x 1 y x y '
3
2 x3 1
x x3 1
3
y
x3 2
x 2 x3 1
, ecuación lineal en y , la solución es:
p ( x ) dx p ( x )dx ye e q( x)dx c
donde p ( x)
2 x3 1
x x3 1
Ecuaciones Diferenciales
y q( x)
x3 2
x 2 x3 1
Página 4
Ecuaciones Diferenciales remplazando se tiene:
ye
ye
2 x 3 1 x x3 1
ln
x 3 1 x
2 x 1 3 3 x 2 x x 1 dx dx c e 3 x x 1
3
x3 2 dx c x 2 x3 1
x 3 1 ln e x
x3 2 x 1 y 3 3 dx c 3 x 2 c x 1 x x x 1 x
Por lo tanto: y
cx
1 x3 1 x
Problema 5 Si la ecuación es exacta resuélvala, si no lo es encuentre un factor integrante para resolverla si es posible.
x2 y dx xdy 0 Solución
x2 y dx xdy 0,
x
M 1 M x 2 y y N 1 N x x Como
M N la ecuación no es exacta y x
Ecuaciones Diferenciales
Página 5
Ecuaciones Diferenciales sea f ( x)
1 M N 1 2 1 1 N y x x
f ( x ) dx u e e
2 dx x
1 x2
u
1 x2
sea x 2 y dx xdy 0 1 y dx 1 dy 0 2
x
x
1 M y M 1 2 2 x y x N 1 N 1 x x x 2 como
M N la ecuación es exacta, entonces: y x
f ( x, y) tal que
f ( x, y ) f ( x, y ) N de donde M y y x
f ( x, y) y y 1 2 f ( x, y) x g ( y) , derivando x x x f ( x, y ) 1 g '( y ) N y x entonces:
1 1 g '( y) g '( y ) 0 g ( y) c x x
f ( x, y ) x
y y c, por lo tanto x k x x
Problema 6 Resuelva la ecuación de Bernoulli dada empleando una sustitución adecuada
3(1 t 2 )
dy 2ty y3 1 dt
Ecuaciones Diferenciales
Página 6
Ecuaciones Diferenciales Solución Rescribiendo la ecuación diferencial tenemos
y '
2
3 1 t
2
y
2t
3 1 t
2
y 4 y sabemos que w y 3 nosotros obtenemos:
dw 2t 2t 1 e integramos y por lo el factor es por lo tanto w dt 1 t 2 1 t2 1 t2 w 1 t
2
1 1 t
2
c ó y 3 1 c 1 t 2
Problema 7 Halle una familia mono paramétrica de soluciones de la ecuación diferencial
dy 4 1 2 y y2 dx x x
en donde y1 2 / x
es una solución conocida de la
ecuación. Solución Identificamos P( x) 4 / x , Q( x) 1/ x y R( x) 1 . Entonces 2
dw 1 4 w 1 . Y el factor de integración de nuestra ecuación lineal de dx x x primer orden seria x
3
1 4 1 3 por lo tanto x w x c ó u x cx 4 4
Entonces la solución seria: y
Ecuaciones Diferenciales
3
1
.
2 u x
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