[ECUACIONES EXACTAS] Unidad I
Ecuaciones Exactas Definición de una expresión diferencial M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0
Es una diferencial exacta en una región R
del plano xy
si
corresponde a la diferencial total alguna función. Una ecuación: M ( x, y)dx N ( x, y)dy
Se dice que es exacta si la expresión del miembro izquierdo es una diferencial exacta. El siguiente teorema es un criterio para determinar si una diferencial es exacta. Teorema Supongamos que M ( x, y) y N ( x, y) son continuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en una región del plano xy . Entonces una condición necesaria y suficiente para que M ( x, y)dx N ( x, y)dy
Sea una diferencial exacta es que
M N y x Método de solución Primero demuestre que
M N y x
Suponga entonces que
f M ( x, y ) x
Así podremos encontrar integrando M ( x, y) con respecto a x mientras se mantiene y constante. Escribimos Prof. Gerson Villa González
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f ( x, y) M ( x, y)dx g ( y)
Donde la función arbitraria g ( y) Derive
ahora
(1.1)
con
(1.1)
es la “constante” de integración.
respecto
a
y
y
suponga
que
f M ( x, y)dx g '( y) N ( x, y) y y
De esto resulta g '( y ) N ( x, y )
M ( x, y )dx y
(1.2)
Nota. En el procedimiento anterior podríamos perfectamente haber empezado por suponer que
f N ( x, y ) y Las análogas de (1.1) y (1.2) serían: f ( x, y ) N ( x, y )dy h( x) y h '( x) M ( x, y )
N ( x, y )dy x
Respectivamente.
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Problemas Propuestos En los problemas siguientes determine si la ecuación respectiva es exacta. Si lo es resuélvala. Problema 1 y 1 ln x dx 1 ln x dy x y M ( x, y ) 1 ln x x M 1 y x N ( x, y ) 1 ln x N 1 x x
En consecuencia la ecuación es exacta por lo tanto existe una función f ( x, y) tal que f y 1 ln x x x
y
f 1 ln x y
Al integrar la segunda de estas ecuaciones obtenemos: f y y h '( x) 1 ln x x x x h '( x) 1 ln x
h '( x) 1 ln x dx h( x) x x ln x x h( x) x ln x
Sustituyendo tenemos C y y ln x x ln x
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Problema 2 1 1 t y t dt ye dy 0 2 t 2 y2 t 2 y2 t t 1 1 y M ( x, y ) 2 2 t t t y2 2 2 M t y 1 y 2 y 2 y 2 t 2 y 2 y2 t 2 2 2 2 y t 2 y2 t 2 y 2 t 2 y 2
N ( x, y ) ye y
t t y2 2
2 2 N t y 1 t 2t y2 t 2 2 2 2 2 t t y t 2 y 2
En consecuencia es exacta por lo tanto existe una función f ( x, y) tal que f 1 1 y 2 2 t t t t y2 f t ye y 2 y t y2
Al integrar la primera de estas ecuaciones obtenemos: f ( x, y ) M ( x, y )dt h( y ) 1 1 y f ( x, y ) 2 2 dt h( y ) 2 t t t y 1 f ( x, y ) ln t tan 1 t
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t h( y ) y
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La integral en azul se desarrolla a continuación y a 2 x 2 a sec u t 2 y 2 dt tan u x / a ó bien x a tan u t 2 y 2 a 2 sec2 u t 2 y 2 y 2 sec2 u t y tan u dt y sec 2 udu u tan 1
t y
y 2 1 y sec u du du u tan y 2 sec2 u
t y
Calculamos la derivada parcial con respecto a y
e igualamos el
resultado a N ( x, y) y obtenemos t Dy f x, y y h '( y ) ye y t 2 y t 2 y2 t 1 y t f x, y t y2 2 2 h ' y ye y 2 y t y t y2 y2 f x, y t t 2 2 h ' y ye y 2 y y t t y2 h '( y ) ye y h( y ) ye y e y t 1 ln t tan 1 ye y e y C t y
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Problemas Suplementarios 1. 4t 3 y 15t 2 y dt t 4 3 y 2 t dy 0 sol. t 4 y 5t 3 ty y 3 C 2.
x
3. x
2
y 2dx x 2 2 xy dy 0 sol. no es exacta
dy 2 xe x y 6 x 2 sol. ln x e y / x 1 dx
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