[ECUACIONES EXACTAS FACTORES INTERGRANTES] Unidad I
Ecuaciones Exactas- Factores Integrantes Una ecuación lineal y ' P( x) y f ( x) se puede transformar en una derivada al multiplicar la ecuación por un factor integrante. La misma idea básica funciona a veces para una ecuación diferencial no exacta M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0 . Es decir a veces es posible encontrar un factor integrante u ( x, y) de modo que, después de multiplicar, el lado izquierdo de: u( x, y)M ( x, y)dx u( x, y) N ( x, y)dy 0
Se resume los resultados para la ecuación diferencial M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0
Si
(1.1)
My Nx
es una función de x exclusivamente, entonces un N factor de integración para (1.1) es u ( x) e
Si
N
x
My Nx dx N
My
es una función de y solamente entonces un factor M de integración para (1.1) es: u( y) e
Nx My M
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Problemas Propuestos En los problemas siguientes determine si la ecuación respectiva es exacta. Si no lo es encuentre una función u ( x, y) que la haga exacta, después resuélvala. Problema 1 2 cos xdx 1 senxdy 0 y M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0 M ( x, y ) cos x
M 0 y
2 2senx N ( x, y ) 1 senx N ( x, y ) senx y y N 2 cos x cos x x y M N y x
En consecuencia la ecuación no es exacta por lo tanto existe una función u ( x, y) que la haga exacta, por lo tanto:
M y Nx
0 cos x
2 cos x y
2 cos x 1 y cot x 2 senx 1 y
2 1 y senx 2 cos x cos x 0 Nx M y 2 y 1 M cos x y N
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Por lo tanto optamos por el factor integrante de u ( x) u ( x) e
My Nx dx N cos x
dx cot xdx Ln senx u ( x) e e senx e
u ( x) e
Ln
1 senx
u ( x)
1 u ( x) csc x senx
En consecuencia la ecuación será exacta dado una función u ( x, y) tal que uM ( x, y ) cos x csc x cos x
1 cot x senx
2 uN ( x, y ) senx senx csc x y 2 uN ( x, y ) 1 y M 0 y N 0 x
Por lo tanto la ecuación es exacta y procedemos a resolverla
f cot x x
y
f 2 1 y y
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f ( x, y ) M ( x, y )dx h( y ) f ( x, y ) cot xdx h( y ) f ( x, y ) ln senx h( y ) f 2 h '( y ) 1 y y 2 h '( y ) dy 1 y dy h( y ) y 2ln y h( y ) y ln y 2
Sustituyendo tenemos f ( x, y ) ln senx y ln y 2 C ln senx y ln y 2
Problema 2 y( x y 1)dx ( x 2 y)dy 0
M ( x, y ) yx y 2 y M x 2y 1 y N ( x 2 y) M 1 x
En consecuencia la ecuación no es exacta por lo tanto existe una función u ( x, y) que la haga exacta, por lo tanto:
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M y Nx N
x 2 y 1 1 1 x 2y
u ( x) e ; u ( x) e x dx
uM ( x, y ) e x yx y 2e x ye x uN ( x, y ) xe x 2 ye x
En consecuencia es exacta por lo tanto existe una función f ( x, y) tal que f yxe x y 2e x ye x x f xe x 2 ye y y
Al integrar la primera de estas ecuaciones obtenemos: f ( x, y ) N ( x, y )dt g ( x)
f ( x, y ) xe x 2 ye x dy g ( x) f ( x, y ) xye x y 2e x g ( x) f xye x ye x y 2e x g '( x) yxe x y 2e x ye x x g '( x) 0
g '( x)dx 0dx g ( x) 0
Por lo tanto la solución general sería xye x y 2e x c
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Un Método alternativo Para la ecuación y
x
M (u, y)du N (a, v)dv c, a, b en a
b
Solamente para ecuaciones exactas Ejemplo
2 xy
2
ye x dx 2 x 2 y e x 1 dy 0
M ( x, y ) 2 xy 2 ye x N ( x, y ) 2 x 2 y e x 1 M 4 xy e x y N 4 xy e x x M N y x y
x
2uy
2
ye du 2a 2v e a 1dv c u
a
b
x
y
x
y
y
2uy du ye du 2a vdv e dv dv c 2
a
u
a
2
a
b
b
x
x
y
y
a
a
b
b
b
u 2 y 2 yeu a 2v 2 ve a v b c
x
2
y
a y 2 ye x ye a a 2 y 2 a 2b 2 ye a be a y b c
x 2 y 2 ye x y a 2 y 2 ye a a 2 y 2 a 2b 2 ye a bea b c x 2 y 2 ye x y a 2b 2 be a b c c1 x 2 y 2 ye x y c1
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Problemas Suplementarios Verifique que la ecuación diferencial respectiva no es exacta. Multiplique esa ecuación diferencial por el factor integrante indicando, u ( x, y) , y compruebe que la nueva ecuación sea exacta, resuélvala. 1. xysenx 2 y cos x dx 2 x cos xdy 0 ; sol. x 2 y 2 cos x c 2. 2 y 2 3x dx 2 xydy 0 sol. x 2 y 2 x3 c 3. 10 - 6 y e-3 x dx - 2dy 0 sol. 2 ye3 x
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10 3 x e xc 3
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