[ECUACIONES HOMOGENEAS] Unidad I
Soluciones por Sustitución Para resolver una ecuación diferencial, primero identificamos como una ecuación de cierto tipo (separable, por ejemplo), y a continuación desarrollamos un procedimiento formado por pasos matemáticos específicos al tipo de la ecuación que produzca una función suficientemente diferenciable la cual satisfaga la ecuación. A menudo comenzamos transformando una ecuación diferencial dada a en otra ecuación diferencial mediante una sustitución. Ecuaciones Homogéneas. Cuando una función f f tx, ty t f x, y , para un número real
tiene la propiedad
se dice que f
es una
función homogénea de grado . Por ejemplo: f x, y x3 y3 Es homogénea de grado 3 porque:
f tx, ty tx ty t 3 x3 y3 t 3 f x, y 3
3
Mientras que f ( x, y) x3 y3 1 no es homogénea. Una ecuación diferencial de primer orden M ( x, y)dx N ( x, y)dy 0
(1.1)
Es homogénea si los coeficientes M y N a la vez son funciones homogéneas del mismo grado. En otras palabras la ecuación (1) es homogénea si: M tx, ty t M x, y N tx, ty t N ( x, y )
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Además si M y N son funciones homogéneas de grado , también es posible escribir: M ( x, y ) x M (1, u ) y u x N ( x, y ) x N (1, u )
Ó M ( x, y ) y M (v,1) x v y N ( x, y ) y N (v,1)
Las propiedades anteriores parecen indicar las sustituciones que se pueden hacer para resolver una ecuación diferencial homogénea. En forma especifica, algunas de las sustituciones y u / x ó x vy donde u y v son nuevas variables dependientes, esto reducirá una ecuación homogénea a una ecuación diferencial de variables separables de primer orden.
Por lo tanto las sustituciones sugeridas serán las siguientes: y ux dy udx xdu x vy dx vdy ydv
Ejemplos Problema 1 Resuelva la ecuación homogénea siguiente con una sustitución adecuada. x
dy y x2 y 2 dx
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Solución Haciendo y ux tenemos dy y x2 y 2 dx con y ux dy udx xdu dy x x2 y 2 y dx xdy x 2 y 2 y dx x
x 2 y 2 y dx xdy 0 x 2 u 2 x 2 y dx x udx xdu 0 x 2 u 2 x 2 dx uxdx xudx x 2du 0 x 2 1 u 2 dx x 2du 0 x 1 u 2 dx x 2du 0 x 1 u 2 dx x 2du dx du x 1 u2
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Integramos ambos lados dx x
u tan , du sec2 d 2 2 2 1 u 1 tan 2 sec du
sec2 d 1 u2 u sec sec d ln sec tan ln 1 1 ln x ln 1 u 2 u c1 ln 1 u 2 u ln x c1 1 u2 u ln c1 x ln
e
1 u 2 u x
ec1
Aplicamos una exponencial de ambos lados para eliminar el logaritmo natural ec c1 1 u2 u c 1 u 2 u xc x u
y2 y 1 2 cx x x
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Por lo tanto haciendo las reducciones pertinentes a la función tenemos lo siguiente y y2 1 2 cx x x y x
x2 y 2
y x
x2 y 2
y x
x2 y 2 y x2 y 2 cx cx y x 2 y 2 c x x
x
2
x2
cx cx
Problema 2 Resuelva la siguiente ecuación diferencial homogénea, con alguna sustitución adecuada de valores iniciales
x ye y / x dx xe y / xdy 0, y(1) 0 Solución Tenemos
xdx ye y / x xe y / x dy 0 Haciendo y ux dy udx xdu
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xdx uxeu dx xeu udx xdu 0 xdx uxeu dx xeu udx x 2eu du 0 xdx x 2eu du dx eu du x Integrando ambos lados tenemos dx u u x e du ln x e c u y / x ln x e y / x c
Usando las condiciones iniciales x 1 y (1) 0 y 0 ln 1 e0/1 c 0 1 c c 1 Por lo tanto la solución particular será ln x e y / x 1
Problema 3 Resuelva la ecuación homogénea siguiente con una sustitución adecuada.
dy y x dx y x Solución Tenemos u y / x y ux dy udx xdu
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udx xdu ux x du x u 1 u x dx ux x dx x u 1 ux x
du u 1 du u 1 x u dx u 1 dx u 1
du u 1 u u 1 du u 1 u 2 u x dx u 1 dx u 1
2 du 1 u 2 du 1 1 u x x dx u 1 dx u 1 u 1 dx du x u2 1
Integramos ambos lados u 1
dx x 2
u 2 1du
1 1 Tenemos dos integrales u tan du sec 2 d caso u 2 1 a 2 du 2 u 1 u 1 sec 2 tan 1 u 1
sec2 d 1 sec d tan u
b
u u 1 2
du
u dw 1 dw 1 1 ln w ln u 2 1 w 2u 2 w 2 2
wu 2 1 dw 2udu dw du 2u
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Por lo tanto
Problema 4 Resuelva la ecuación homogénea siguiente con una sustitución adecuada 4 x 3 y y '(2 y 3x) 0
Solución Observamos que la ecuación es homogénea, entonces: Sea y ux dy udx xdu , la ecuación diferencial la escribiremos así:
4 x 3 y dx (2 y 3x)dy 0
, ahora reemplazando se tiene
4 x 3ux dx 2ux 3x udx xdu 0
, simplificando y agrupando
4 3u xdx x 2u 3 udx xdu 0
4 xdx 3uxdx x 2u 2 dx 2uxdu 3udx 3xdu 0 4 xdx 3uxdx 2u 2 xdx 2ux 2 du 3uxdx 3x 2 du 0 xdx 4 3u 2u 2 3u x 2 du 2u 3 0 xdx 2u 2 6u 4 x 2 du 2u 3 0 xdx 2u 2 6u 4 x 2 du 2u 3 xdx 2u 3 du x2 2u 2 6u 4 dx 2u 3 du x 2 u 2 3u 2 2
dx 2u 3 du 2 x u 3u 2
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,
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Integramos ambos lados 2
dx 2u 3 du 2 x u 3u 2
2ln x ln u 2 3u 2 c ln x 2 ln u 2 3u 2 c ln x 2 u 2 3u 2 c
Aplicando una exponencial de ambos lados tenemos e
ln x 2 u 2 3u 2
ec
ec k
x u 2
2
3u 2 k
Pero sabemos que y ux u
x u 2
2
y x
3u 2 k
y 2 x x 3 xy 2 k y2 y x 2 2 3x 2 2 x2 k x x 2
y 2 3 xy 2 x 2 k
Problema 5 Resuelva la ecuación homogénea siguiente con una sustitución adecuada xy ' y 2 x 2
Solución xdy y 2 x 2 , es homogénea y ux dy udx xdu Prof. Gerson Villa González
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x udx xdu
ux
2
x 2 dx , simplificando y agrupando
xudx x 2 du u 2 x 2 x 2 dx xudx x 2 du x 2 u 2 1dx
u
xudx x 2 du x 2
u
xudx x 2 du x xudx x 2 du x
u
1dx
1dx
2
2
du 2
2
1dx
u 1dx u 1dx udx xdu dx u
udx xdu xdu
u
2
2
1 u
2
1 u
dx x
Racionalizamos la función de lado derecho e integramos ambas despues du
u u
u 1 u u 1 u du 2
2 2
1 u 1 u
dx x
2
dx u 1 u x u 2 1 u du dxx 2
2
1
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Resolviendo las integrales tenemos
u
2
1 u du
u
2
1du udu
u sec du sec tan d u 2 1du u 2 1 tan
tan sec tan d tan sec d sec 1 sec sec d sec d 2
2
3
u sec x dv sec 2 xdx sec d du sec x tan xdx v tan x ln sec tan 3
sec tan sec tan 2 d ln sec tan
sec tan sec sec 2 1 d ln sec tan sec tan sec3 d sec d ln sec tan 1 sec tan ln sec tan ln sec tan 2 1 1 u2 1 1 sec tan ln sec tan 1 sec tan ln sec tan u 2 2 2 2 2 2 1 1 u2 sec tan ln sec tan 2 2 2
Regresamos a la variable u , mediante el triangulo rectángulo correspondiente al caso trigonométrico
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1 u u2 1 1 u u2 1 u2 ln 21 1 2 1 1 2
1 1 u2 2 2 u u 1 ln u u 1 2 2 2 1 u u 2 1 ln u u 2 1 u 2 2
1 y 2 x 1 y 2 x 1 y 2 x2 1 y 2 1 y 2
2 2 y y2 y y 1 ln 1 2 x x x x y 2 x2 y y 2 x2 y 2 2 x2 x x2 x 2 y y2 y 2 2 y x ln 1 2 x x x 2 y2 x2 y y y ln 1 2 x x x y2 x2 y y y 2 x 2 ln x2 x
Por lo tanto esto lo igualamos a la integral del lado derecho y tenemos lo siguiente
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1 y 2
y2 x2 y
ln y
y2 x2 x
x2
ln x c
2 2 y y 2 x 2 1 y y x y ln ln x ln c 2 x2 x y y2 x2 y 2 2 y y x ln 2 ln x ln c 2 x x
y
y2 x2 y
ln y
x2
y y 2 x2 ln x
y 2ln xc
y2 x2 y x2
ln y y 2 x 2 ln x ln x 2c
ln y y x 2
2
ln x c ln x 2
ln y y 2 x 2 ln x 3c
e
ln y y 2 x 2
e
ln x3c
y
y 2 x2 y x
y
y y x x ce 2
2
3
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y
y
x2 y2 x2 y x2
y2 x2 y
x2
y 2 x2 y x
y
y2 x2 y
e
2
2ln xc
y2 x2 x
ln y y 2 x 2
eln x ce 3
y
y 2 x2 y x
2
2
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Problemas Suplementarios Verifique que la ecuación diferencial respectiva sea homogénea, si lo es resuélvala, resuélvala. 1. ax 2 2bxy cy 2 y ' bx 2 2cxy fy 2 ; sol. fy3 3cxy 2 3bx2 y ax3 c 2.
y
3.
y - xy '
4
3x 2 dy xydx sol. x 2 y 4 cy 6 2
x 2 y 2 ; sol. y x 2 y 2 k
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