Ecuaciones lineales

[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1 Ecuaciones Lineales Definimos la forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n como: dny d n1 y dy an ( x) n  a n 1 ( x) n1  ...  a1 ( x)  ao ( x) y  g ( x) dx dx dx

Recordemos que la linealidad significa que todos los coeficientes son solamente funciones de x y que y y todas sus derivadas están elevadas a la primera potencia. Ahora bien cuando n  1 , obtenemos la ecuación lineal de primer orden a1 ( x)

dy  a0 ( x) y  g ( x) dx

Dividiendo por a1 ( x) resulta la forma una más útil dy  P( y )  f ( x) dx

(1.1)

Buscamos la solución de (1.1) en un intervalo I en el cual P( x) y f ( x) son continuas.

Método de Solución Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden, primero escríbala en la forma (1.1) o sea haga el coeficiente de y ' igual a la unidad.

Multiplique después toda la ecuación por el factor integrante: e

p( x)

p ( x ) dx p ( x ) dx dy  P ( x )e  y  e f ( x) dx

Lo anterior seria la derivada del producto del factor integrante por la p ( x ) dx variable dependiente e  y.

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[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1 Escriba la ecuación en la forma d   p ( x )dx   p ( x ) dx e y e f ( x)  dx 

Y por ultimo integramos ambos miembros.

Ejercicios Encuentre la solución general de la ecuación diferencial dada. De un intervalo en el cual la solución general este definida.

Problema 1

x

 1

2

dy 2  2 y   x  1 dx

Solución Escribimos la ecuación como dy 2y  x  1  2  2 dx  x  1  x  1 2

Y determinamos el factor integrante 2

e

x

dx

 x2 1

dx 1 A B  2   1 x 1 x 1 x 1 1  A( x  1)  B ( x  1)

2

1  ( A  B) x  A  B 0 A B  1 A B

Por lo tanto tenemos dos ecuaciones sumando ambas obtenemos:

A  1/ 2 y B  1/ 2

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[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1

Sustituyendo estos valores en la integral original tenemos 1 1 dx 2 2  2 2 dx  2 2 dx x 1 x 1 x 1 dx dx x 1    ln x  1  ln x  1  ln x 1 x 1 x 1 u ( x)  e

ln

x 1 x 1

 u ( x) 

x 1 x 1

Ahora multiplicamos el factor integrante u ( x)

por la ecuación

diferencial que esta en el formato de una ecuación lineal y tenemos: x  1 dy 2 y x  1  x  1 x  1  2  x  1 dx  x  1 x  1  x 2  1 x  1 2

 x  1  x  1  x  1 x  1 dy 2y   x  1 dx  x  12  x  1  x  1  x  1 x  1 dy 2y  1 x  1 dx  x  12

Y se obtiene

d  x 1  y 1 dx  x  1  Integramos ambos lados y tenemos d  x 1   dx  x  1 y  dx   dx

 x  1 y  ( x  1) x  c( x  1) para

1  x  1

Problema 2

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[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1 dy 1  e2 x y x dx e  e x

Solución Escribimos la ecuación como dy 1  e2 x y x dx e  e x

Y encontramos el factor integrante e

p ( x ) dx

 e

xdx

 u ( x)  e x

Ahora multiplicamos el factor integrante por la ecuación diferencial y tenemos lo siguiente ex

 1  e 2 x  dy  ex y  ex  x x  dx e e 

ex

 e x  e x  dy  ex y   x x  dx e e 

Y se obtiene d x e x  e x e y   dx   e x  e x

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[ECUACIONES DIFERENCIALES] Unidad 1

Integramos ambos lados d x e x  e x  dx e y dx   e x  e x dx 1

1 u  e x  e x du   e x  e  x  dx  dx 

du  e x  e x 

 e  e  du du  u e  e   u  ln u   x

x

x

x

 ln e x  e  x  e x y  ln e x  e  x  c  y  e  x ln e x  e  x  ce  x

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