Ejercicios Complementarios de Conicas by Gerson Villa Gonzalez

2012

Profesor: Gerson Villa Gonzรกlez

Fundamentos Matemรกticos

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: 1PM2 gvilla@ipn.mx

Fundamentos Matemáticos Problemas Problema 1 Identifique la cónica como una circunferencia, o una elipse. Después encuentre el centro, los radios, los vértices, los focos y la excentricidad de la cónica (si es aplicable) y trace su gráfica.

x2  4 y 2  6 x  20 y  2  0 Solución Agrupamos términos semejantes

x

25    6 x  9   4  y 2  5 y    2  9  25 4   2

5  x  3  4  y    36 2  2

 x  3 36

5  y  2  1 9

Elipse

a 2  36  a  6, b 2  9  b  3 c  a 2  b 2  36  9  27  3 3 Centro

con h  3, k  

5 3

5  C (h, k )  C  3,   2 

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Fundamentos Matemáticos Vértices

5  V (h  a, k )  V  3  6,   2  5  5  V1  9,   ,V2  3,   2  2  Focos

5  F (h  c, k )  F  3  3 3,   2  5  5   F1  3  3 3,   , F2  3  3 3,   2  2  Excentricidad

e

c 3 3 3   a 6 2 y

0 -15

-10

-5

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Fundamentos Matemáticos Problema 2 Arquitectura. Un arco semieliptico sobre un túnel, para un camino en un sentido a través de una montaña, tiene un eje mayor de 50 pies y una altura en el centro de 10 pies. a) Dibuje un sistema coordenado rectangular sobre el bosquejo del túnel con el centro del camino entrando al túnel en el origen. Identifique las coordenadas de los puntos desconocidos. b) Encuentre una ecuación del arco semieliptico sobre el túnel. c) Usted conduce un camión que tiene un ancho de 8 pies y una altura de 9 pies. ¿Pasara el camión por la abertura del arco?

Solución Inciso a

Inciso b Tomando los datos del bosquejo anterior tenemos:

a  25, b  10 x2 y 2  1 a 2 b2 x2 y2  1 625 100

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Fundamentos Matemáticos Inciso c Considerando que el camión tiene un ancho de 8 pies, tomamos el valor cuando:

x  4 42 y2  1 625 100 16  2436  y 2  100 1   25  625  y

2436  9.87 pies  9 pies 25

Por lo tanto pasara el camión por la abertura del arco de acuerdo a la justificación anterior donde indica que el ancho del ancho es mayor al ancho del camión.

Problema 3 Encuentre de forma gráfica los puntos de intersección de las gráficas y después verifique empleando algún graficador.

 x2  y 2  4 x  6 y  4  0 x 2  y 2  4 x  6 y  12  0 Solución Planteamiento del Problema Agrupando las ecuaciones tenemos

 x 2  y 2  4 x  6 y  4  0   y  3   x  2   1 2

x 2  y 2  4 x  6 y  12  0   x  2    y  3  1 2

2 y 2  12 y  16  0 2( y  2)( y  4)  0 y2 ó y4

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Fundamentos Matemáticos Con y  2 y sustituyendo en la ecuación 2 tenemos x 2  22  4 x  6(2)  12  0 x2  4x  4  0

 x  2

0

x2 Con y  4 y sustituyendo en la ecuación 2 tenemos x 2  42  4 x  6(4)  12  0 x2  4x  4  0

 x  2

0

x2 Por lo tanto el punto de intersección es

(2,2) y  2,4 

Por lo tanto graficando las ecuaciones tenemos:

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Fundamentos Matemáticos Las Soluciones respectivas son:

Problema 4 Un espejo hiperbólico. Un espejo hiperbólico (empleado en algunos telescopios) tiene la propiedad de que un haz de luz dirigido a un foco es reflejado al otro foco. El foco de un espejo hiperbólico (vea la figura) tiene coordenadas (24,0). Determine el vértice del espejo si la montura en el borde superior del espejo tiene coordenadas (24,24).

(24,24)

Centro:

(0,0)  (h, k )

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Fundamentos Matemáticos F  24,0   c  24 Punto Solución  24,24  242  a 2  b 2  b 2  242  a 2

 x  h

y  k 

1

x2 y2 242 24 2  1 2  2 1 a 2 242  a 2 a 24  a 2 Despejando a tenemos





a  12 2 3  5  a  12





5  1  14.83

 b 2  355.9876 Entonces nosotros tenemos x2 y2  1 220.0124 355.9876 Por lo tanto el vertice es  a,0   14.83,0  Problema 5 Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola. Emplee un graficador para representar gráficamente la parábola.

x2  4 x  6 y  2  0 Solución Planteamiento del Problema

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Fundamentos Matemáticos x2  4x  6 y  2  0 x 2  4 x  6 y  2 x 2  4 x  4  6 y  2  4

 x  2

 6  y  1

 3  4     y  1  2 3 h  2, k  1, p   2 Vertice:  h, k    2,1

 x  2

1  Focos:  h, k  p    2,   2  5 Directriz : y  k  p  y  2 Por lo tanto reescribiendo la ecuación de la parabola tenemos y

1 2  x  4x  2 6

Graficando esta ecuación tenemos:

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Fundamentos Matemáticos Problema 6 Antena parabólica. Un receptor de una antena cóncava de televisión se encuentra a 1.4 metros del vértice y se ubica en el foco (vea la figura). Escriba una ecuación para una sección transversal del reflector (suponga que la antena parabólica esta dirigida hacia arriba y el vértice esta en origen).

Receptor

1.4m

Solución Planteamiento del Problema

 0,0  h  0, k  0

Vértice: Focos:

 0,4.5  p  4.5

 x  h   4 p( y  k ) 2  x  0   4  4.5 y  0  2

x 2  18 ó y 

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1 2 x 18

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Fundamentos Matemáticos Problema 7 Dada la ecuación de la circunferencia

x2  y 2  2ax  2ay . Calcular su centro y su

radio. Solución Planteamiento del Problema

x 2  y 2  2ax  2ay x 2  y 2  2ax  2ay  0 x 2  2ax  y 2  2ay  0 x 2  2ax  a 2  y 2  2ay  a 2  a 2  a 2

 x  a

  y  a   2a 2 2

Por lo tanto

C (a, a) y r  a 2 Problema 8 Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen, de su centro es

r  10

y la abscisa

6

Solución Planteamiento del problema Como la circunferencia pasa por el origen se tiene que

x2  y 2  r 2 ó bien 36  y 2  100 y 2  100  36  64 y  8

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Fundamentos Matemáticos Entonces

 x  6    y  8  100 2 2  x  6    y  8  100 2

Desarrollando lo anterior tenemos

x2  y 2  12 x  16 y  0 x2  y 2  12 x  16 y  0 Graficando lo anterior tenemos:

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