Ejercicios complementarios de variación de paranetros

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE VARIACIÓN DE PARAMETROS Segundo Departamental

EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUIENTES ECUACIONES POR EL METODO DE VARIACIÓN DE PARAMETROS 1. y '' y  sec x Solución La ecuación auxiliar m  1  0 tiene las raíces m1  i, m2  i ; por lo tanto la solución 2

complementaria es:

y c  e x  c1 cos   c 2sen   y c  c1 cos x  c 2senx Sea y1  cos x y y 2  senx

W

cos x

senx

senx cos x

 cos2 x  sen2 x

y 2f(x) y f(x) dx  y 2  1 dx W W senx sen x cos xsenx  yp   cos x  dx  senx  dx 1 1  y p   y1 

 yp   cos x  sen2dx  senx  cos xsenxdx

1

1   yp   cos x   1  cos 2x  dx  senx  cos xsenxdx 2  x 1  1  yp   cos x   sen2x   senx cos2 x 2 4  2 x 1 1  yp   cos x  cos xsen2x  senx cos2 x 2 4 2 x 1 1  yp   cos x  cos x  2senx cos x   senx cos2 x 2 4 2 x  yp   cos x 2

Por lo tanto la solución general será:

y g  y c  yp  y g  c1 cos x  c 2senx 

x cos x 2

Comprobamos en Mathematica 10 que realmente la solución complementaria sea la correcta

Comprobamos en Mathematica 10 que realmente la solución particular sea la correcta

2. y '' 3y ' 2y  4e

x

Solución La ecuación auxiliar m  3m  2  0 tiene las raíces m1  1 m2  2 ; por lo tanto la 2

solución complementaria es:

2

yc  c1em1x  c 2em2x  yc  c1e x  c 2x 2x

Sea y1  e

W

x

y y2  e2x

e x e

x

e2x 2e

2x

 2e x e2x  e x e2x  2e 3x  e 3x  e 3x

y 2f(x) y f(x) dx  y 2  1 dx W W 2x x x 4e x x e 2x e 4e  y p  e  dx  e  dx e3x e3x  yp   y1 

 yp  e x  4e 2x e3x e x dx  e 2x  4e3x e  x e x dx  yp  4e x  e2x dx  4e 2x  e3x dx 3x  e2x   2x  e  yp  4e   4e     2   3  4e x 6e x  4e x x  yp  2e   yp  3 3 2  yp  e x 3 x

Por lo tanto la solución general será:

y g  y c  yp  y g  c1e x  c 2 x 2x 

2 x e 3

Comprobamos en Mathematica 10 que realmente la solución complementaria sea la correcta

3

Comprobamos en Mathematica 10 que realmente la soluci贸n particular sea la correcta

4