Ejercicios de cauchy euler complementarios

EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS DE CAUCHY-EULER Segundo Departamental

Variación de Parámetros y Reducción de Orden Con lo anteriormente tratado hasta aquí, podemos hacer las afirmaciones siguientes: 1. Con el método de variación de parámetros podemos resolver la ED lineal no homogénea:

y " p(x)y ' q(x)y  g(x) Siempre y cuando conozcamos la solución general

(1)

 (x)  c11(x)  c 22 (x) de la ED lineal

homogénea asociada y " p(x)y ' q(x)y  0 .

2. Con el método de variación de parámetros podemos resolver la ED lineal con coeficientes constantes

ay " by ' cy  g(x)

(2)

3. Aplicando primero el método de reducción de orden y luego el método de variación de parámetros podemos resolver la ED lineal.

y " p(x)y ' q(x)y  g(x)

(3)

Con el conocimiento de solo una solución y  1(x) de la ED lineal homogénea asociada

y " p(x)y ' q(x)y  0

(4)

Sobre las dos primeras afirmaciones ya hemos ejemplificado; y ahora no lo haremos sobre la última afirmación.

1

EJERCICIOS RESUELVE LAS SIGUIENTES ECUACIONES DE CAUCHY-EULER 1.

xy '' y '  0; y1  ln x

Primero mediante la reducción de orden, se obtiene otra solución y 2 de la homogénea asociada y luego se aplica variación de parámetros para determinar una solución particular.

Para obtener y 2 , se propone y 2  uy1

y 2  ln x  u 

e Sabemos que y 2  y1  dx y12 (x)  p( x)dx

Reescribimos la ecuación de la forma y " p(x)y ' q(x)y  0

y "

1 y'  0  x 1

e x e ln x y 2  ln x  2 dx  y 2  ln x  2 dx  ln x ln x 1 1 dx  y 2  lnx  x2 dx  y 2  lnx  dx u  ln x  du   dx  xdu 2 ln x x ln x  x 

dx

Realizamos el cambio de variable en la integral

xdu du  y  lnx  y 2  lnx  u2du  2 2 2  xu u   ln x 1   u21   u1   y 2  lnx    y 2  lnx    y 2  lnx  1   2  1   1     1  y 2  lnx     y 2  1  ln x  y 2  lnx 

2

Por lo tanto tenemos que

y  c1y1  c 2 y 2  y  c1 ln x  c 2  1  c1  0 y c 2  1  y2  1 Ahora se aplica variación de parámetros proponiendo:

yp  u1y1  u2 y2 Con y1  ln x 2.

y con y 2  1

x2y'' 3xy' y  0; y(1)  0, y'(1)  4 Solución Tenemos que

y  xm y '  mxm1 y "  m(m  1)x m2 Sustituyendo la ecuación diferencial la función propuesta y sus derivadas correspondientes tenemos que

 m m







x 2 m(m  1)xm2  3x mx m1  x m  0  x2 xm



2

 m xm x 2  3xmx m x 1  x m  0 

2

 m  3m  1  0  x m m2  2m  1  0







Por lo tanto trabajamos con la ecuación auxiliar que es la siguiente:

m2  2m  1  0  m  1m  1  0  m1  1 m2  1 Por lo tanto la solución general es:

y  c1xm1  c 2xm2  y  c1x 1  c 2x 1 lnx Sustituyendo la primera condición inicial tenemos:

3

y  0 y(1)  0  x 1

Por lo tanto con la primera condición inicial

y(x)  c1x  c 2 x 1 ln x  0  c1 1  c 2 1 ln(1)  1

1

0  c1 Sustituyendo la segunda condición inicial tenemos:

y  4 y '(1)  4  x 1 1 1   y '(x)  c1  c 2  x 1  2 ln x   4  c1  c 2  x 2  x 1 ln x   x x   4  c1  c 2 1  1 ln 1   4  c1  c 2  c 2  4   2

1

Sustituyendo el valor de las constantes en la solución general tenemos que:

y  4x 1 ln x  y 

4 lnx x

Ahora comprobamos el resultado en Mathematica 10 tanto la solución general y con condiciones iniciales

3.

x2y'' 2xy' 2y  0 Solución Tenemos que

y  xm y '  mxm1 y "  m(m  1)x m2 Sustituyendo la ecuación diferencial la función propuesta y sus derivadas correspondientes tenemos que

4

 m m







x 2 m(m  1)xm2  x mxm1  4xm  0  x2 xm



2

 m xm x 2  xmxm x 1  4x m  0 

2

 m  m  4  0  x m m2  4  0







Por lo tanto trabajamos con la ecuación auxiliar que es la siguiente:

m2  4  0  m2  4  m  2i m1  2i m2  2i Por lo tanto la solución general es:

y  x c1 cos   ln x   c 2   ln x   y  c1 cos  2ln x   c 2sen 2ln x  Ahora comprobamos el resultado en Mathematica 10 tanto la solución general y con condiciones iniciales

4.

x2 y'' 2y  0 Solución Tenemos que

y  xm y '  mxm1 y "  m(m  1)x m2 Sustituyendo la ecuación diferencial la función propuesta y sus derivadas correspondientes tenemos que

 m m



x 2 m(m  1)xm2  2xm  0  x2 xm



2

 m xm x 2  2xm  0 

2

 m  2  0  x m m2  m  2  0







5

Por lo tanto trabajamos con la ecuación auxiliar que es la siguiente:

m2  m  2  0   m  1m  2   0  m1  1 m2  2 Por lo tanto la solución general es:

y  c1xm1  c 2xm2  y  c1x1  c 2x2 Ahora comprobamos el resultado en Mathematica 10 tanto la solución general y con condiciones iniciales

6