Gerson Villa Gonzรกlez
Ecuaciones Diferenciales
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Gerson Villa González
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EJERCICIO. Un sistema esta modelado bajo la siguiente ecuación diferencial:
d 2 y(t ) dy(t ) 6 y(t ) 2 x(t ) dt 2 dt Hallar la función de transferencia H(s) cuando la entrada x(t) es un impulso unitario. Solución
s 2Y (s) sY (s) 6Y (s) 2 X (s) Y ( s) 2 2 Y (s)[s 2 s 6] 2 X (s) , y por lo tanto se tiene H ( s) X ( s) s s 6 Y ( s) 2 H ( s) ; Aplicando la transformada inversa de Laplace: X ( s) ( s 3)(s 2) 1 1 2 H ( s ) (s 3)(s 2) , y desarrollando por fracciones parciales:
y’’-y’-6y = 2x, entonces aplicando Laplace
H (s)
k k 2 1 1 ( s 3)(s 2) s 2 s 3
k1 ( s 2) H ( s) s 2 ( s 2)
2 2 (2 3) 5
k1
2 2 ( s 2)(s 3) s 2 ( s 3) s 2
2 5
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k 2 ( s 3) H ( s) s 3 ( s 3)
2 2 (3 2) 5
H ( s)
k2
2 2 ( s 2)(s 3) s 3 ( s 2) s 3
2 5
2 2 1 2 1 ( s 3)(s 2) 5 s 2 5 s 3
1
2 H (s) 5
1
1 2 1 1 s 2 5 s 3
2 2 h(t ) e 2t e 3t 5 5
EJERCICIO El sistema eléctrico mostrado en la figura tiene como modelo matemático la siguiente ecuación
Ri (t )
1 di (t ) ( ) vi (t ) i t dt L C dt
a) Hallar la función de transferencia del sistema (condiciones iniciales iguales a cero).
R 16 L 2H H ( s)
C 0.02 F vi (t ) entrada
Q( s) ? Vi ( s )
q(t ) salida
Nota. No olvidar que i (t )
dq(t ) dt
Solución: Condiciones iniciales q(0)=0, q’(0)=0, i(0)=0.
Lq' ' Rq '
1 q C
L R 1 q' ' q' q L L CL L
Aplicando la transformada de Laplace
q' '
R 1 q' q L CL L
R 1 q L L q' ' q' L CL 1
1
L
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s 2Q( s) sq(0) q' (0)
Ecuaciones Diferenciales R sQ(s) q(0) 1 Q(s) V (s) L LC L
R 1 V ( s) s Q( s) sQ( s) Q( s ) L LC L 2
1 Q( s ) L V ( s) s 2 R s 1 L LC
Reemplazando para L=2, R=16 y C=0.02, tenemos que:
1 1 Q( s ) 2 2 2 2 16 1 V ( s) s s 8s 25 s 2 2(0.02) b) Encontrar la carga q(t) (la salida) en cualquier tiempo t>0 si la entrada es un paso (escalón) de 300 voltios. Solución Ahora bien si la entrada es v=300(t) (señal escalón o paso de amplitud 300). Y la L1 300 (t ) L1 300 300
Q( s )
1
v 300 (t ) ,
s 1
300 2 2 V ( s) 2 s 8s 25 s 8s 25 s 2
L v(t ) V ( s)
Q( s )
1
300 s
150 s( s 8s 25) 2
Para hallar la carga q(t) se aplica la transformada inversa de Laplace, ya que L Q( s ) q(t ) se debe realizar el desarrollo en fracciones parciales. Para encontrar q(t) a partir de 1
Q( s )
150 , se pueden utilizar Diferentes Métodos. s( s 8s 25) 2
Se va explicar y aplicar cada método, paso por paso: Método I; Fracciones parciales mediante ecuaciones algebraicas:
Ax B x bx c 2
k s k3 k 150 1 2 2 se multiplican ambos miembros por el mínimo común denominador s( s 8s 25) s s 8s 25 2
s(s2+8s+25):
150s( s 2 8s 25) k1s( s 2 8s 25) (k 2 s k3 ) s( s 2 8s 25) s( s 2 8s 25) s s 2 8s 25 150 k1 (s 2 8s 25) (k 2 s k3 )s ; se encuentra k1 sustituyendo s=0:
150 k1 (02 8(0) 25) (k2 (0) k3 )(0)
k1 6
Reemplazando k1=6 y desarrollando los factores, se obtiene:
150 6(s 2 8s 25) s(k2 s k3 )
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150 6s 2 48s 150 k 2 s 2 k3 s 150 (6 k2 )s 2 (48 k3 )s 150 ; aquí se igualan los coeficientes de potencias iguales de s lo que da:
k2 6 0 k3 48 0 150 150
k 2 6 k3 48
Substituyendo los valores de k1, k2 y k3, en
k s k3 k 150 1 2 2 se obtiene: s( s 8s 25) s s 8s 25 2
6 6 6s 48 6 6(s 4) 24 6 6(s 4) 24 6s 48 2 2 2 2 2 2 ( s 4) 2 32 s s 8s 25 s s 8s 25 s (s 4) 3 s (s 4) 3
( s 4) 6 3 6 8 2 2 2 2 s ( s 4) 3 ( s 4) 3
Q( s )
( s 4) 6 3 6 8 2 2 2 2 s ( s 4) 3 ( s 4) 3
Se aplica transformada inversa: 1
Q(s) 1
1
Q(s) 6
NOTA
1
significa INVERSA DE LAPLACE
3 6 1 ( s 4) 1 8 6 2 2 2 2 s ( s 4) 3 ( s 4) 3
1
1 1 ( s 4) 3 1 8 6 2 2 ( s 4) 3 ( s 4) 2 32 s
;
Para solucionar, ver la tabla de
transformadas de Laplace. 1
Q(s) q(t ) 6(1) 6e
4t
Cos(3t ) 8e 4t Sen(3t )
q(t ) 6 6e 4t Cos(3t ) 8e 4t Sen(3t ) c) Calcular la corriente i(t) de acuerdo a los resultados obtenidos en el punto anterior. Solución Ahora se debe hallar i (t )
dq(t ) : dt
dq(t ) d d d (6) 6 e 4t Cos(3t ) 8 e 4t Sen(3t ) dt dt dt dt dq(t ) d d d d (0) 6e 4t Cos(3t ) Cos(3t ) e 4t 8e 4t Sen(3t ) Sen(3t ) e 4t dt dt dt dt dt
Gerson Villa González
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dq(t ) (0) 6 e 4t 3Sen(3t ) Cos(3t ) 4e 4t 8 e 4t 3Cos(3t ) Sen(3t ) 4e 4t dt dq(t ) 6 3e 4t Sen(3t ) 4e 4t Cos(3t ) 8 3e 4t Cos(3t ) 4e 4t Sen(3t ) dt dq(t ) 18e 4t Sen(3t ) 24e 4t Cos(3t ) 24e 4t Cos(3t ) 32e 4t Sen(3t ) dt dq(t ) 18e 4t Sen(3t ) 32e 4t Sen(3t ) dt
i(t ) 50e 4t Sen(3t ) Método II; Fracciones parciales usando la relación:
2 x( s ) 2 y x jy x jy 2 2 (s ) 2 2 s j s j ( s ) Q( s )
150 , se hallan las raíces de la ecuación cuadrática s2+8s+25. s( s 8s 25) 2
2 b b 2 4ac 8 8 4(1)(25) 8 64 100 8 36 8 j 6 2a 2(1) 2 2 2 8 j6 4 j3 , de aquí que s1, 2 4 j3 . 2 2
s
Q( s )
k1 k2 150 k* s( s 2 8s 25) s ( s 4 j3) ( s 4 j3)
K1 sQ( s) s 0 s
150 150 (0) 8(0) 25 25 2
150 150 2 s( s 8s 25) s 0 ( s 8s 25) s 0 2
k1 6 , igual al k1 encontrado mediante el otro método.
k ( s 4 j3)Q( s) s 4 j 3 ( s 4 j3)
150 s( s 4 j3)(s 4 j 3) s 4 j 3
150 150 150 150 s( s 4 j3) s 4 j 3 (4 j3)(4 j3 4 j3) (4 j3)( j 6) j 24 j 218
150 , Racionalizando el denominador se tiene: 18 j 24
150 18 j 24 2700 j3600 2700 j3600 2 18 j 24 18 j 24 324 j 432 j 432 j 576 324 576
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2700 j3600 27 36 k 3 j 4 y su conjugado será k * 3 j 4 j 900 9 9
Reemplazando k1, k y k*, en la ecuación general, se obtiene:
Q( s )
k1 k2 150 k* 6 3 j4 3 j4 2 s( s 8s 25) s ( s 4 j3) ( s 4 j3) s ( s 4 j3) ( s 4 j3)
haciendo uso de la relación, donde x=-3, y=-4, =4 y =3; se obtiene que:
2 x( s ) 2 y x jy x jy 2 2 (s ) 2 2 s j s j ( s )
( s 4) 2(3)(s 4) 2(3)(4) 3 6 8 2 2 2 2 2 2 2 2 ( s 4) 3 ( s 4) 3 ( s 4) 3 ( s 4) 3
Q( s )
1
6 ( s 4) 3 , aplicando la transformada inversa para obtener q(t): 6 8 2 2 2 2 s ( s 4) 3 ( s 4) 3
Q(s) 1
1
Q(s) 6
3 6 1 ( s 4) 1 8 6 2 2 2 2 s ( s 4) 3 ( s 4) 3
1
1 1 ( s 4) 3 1 8 6 2 2 ( s 4) 3 ( s 4) 2 32 s
;
Para solucionar, ver la tabla de
transformadas de Laplace. 1
Q(s) q(t ) 6(1) 6e
4t
Cos(3t ) 8e 4t Sen(3t )
q(t ) 6 6e 4t Cos(3t ) 8e 4t Sen(3t ) La cual es idéntica a la obtenida por el método anterior.
i(t ) 50e 4t Sen(3t ) d) Si vi(t)=100Sen(3t), hallar q(t) e i(t):
v(t ) 100Sen(3t ) 100 Sen(3t ) V (s) 100 s
2
3 32
1 Q( s ) 0.5 300 2 2 ; Reemplazando V(s) Q( s) 2 V ( s) s 8s 25 s 8s 25 s 2 9
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150 , utilizando cualquiera de los métodos expuestos anteriormente se ( s 8s 25)(s 2 9)
Q( s )
2
encuentra que:
Q( s )
150 75 1 75 s 75 1 75 s4 2 2 2 2 2 2 2 ( s 8s 25)(s 9) 26 s 3 52 s 3 26 (s 4) 3 52 ( s 4) 2 32 2
aplicando la transformada inversa, tenemos:
q(t )
25 75 25 75 Sen(3t ) Sen(3t ) e 4t Sen(3t ) e 4t Cos(3t ) 26 52 26 52
q(t )
25 2Sen(3t ) 3Cos(3t ) 25 e 4t 3Cos(3t ) 2Sen(3t ) 52 52
i(t )
dq(t ) 75 25 2Cos(3t ) 3Sen(3t ) e 4t 6Cos(3t ) 17Sen(3t ) dt 52 52
e) Halle la respuesta impulso. Solución Nota:
Significa La TRANSFORMADA DE LAPLACE
v(t ) (t ) v(t ) (t ) V (s) 1 1 Q( s ) 0.5 2 2 ; Reemplazando V(s) Q( s) 2 (1) Esta es la respuesta impulso. V ( s) s 8s 25 s 8s 25 Método ; Fracciones Parciales :
k1 0.5 k* s 2 8s 25 ( s 4 j3) ( s 4 j3) 1 0.5 2 k1 ( s 4 j3) ( s 4 j3)( s 4 j3) ( s 4 j3) s 4 j 3
Q( s ) H ( s )
s 4 j 3
k1
0.5 0.5 1 1 j , no olvidar que j 4 j3 4 j3 6 j 12 j
k1 j
1 12
y
k* j
Q( s ) H ( s ) =3.
1 12
j1 j1 12 12 , de aquí utilizando la relación, donde: x=0, y=1/12, =4, y ( s 4 j 3) ( s 4 j3)
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2 x( s ) 2 y x jy x jy 2 2 (s ) 2 2 s j s j ( s )
2 1 (3) 2(0)(s 4) 12 2 2 ( s 4) 3 ( s 4) 2 32
Q( s ) H ( s )
1 3 , aplicando la transformada inversa, se obtiene: 6 ( s 4) 2 32
1 q(t ) h(t ) e 4t Sen(3t ) 6 Esta es la respuesta impulso.
EJERCICIO Hallar la transformada de Laplace de la siguiente señal periodica función: G(t)=
Sen(t),
0<t<
0,
<t<2
SOLUCION La grafica de la función G(t), es :
Periodo T=2. Teorema visto en clase : Transformada de Laplace de una función periódica es :
G(t ) 1 e 1
T
sT
G(t )
1 1 e 2s
0
e sT G(t )dt . En las tablas de transformada se encuentra esta relación.
2
0
e sT Sen(t )dt
1 e sT Sen(t )dt 2 e sT (0)dt 1 e 2s 0
Gerson Villa González g (t )
1 1 e 2s
0
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e sT Sen(t )dt , podemos resolver la integral
0
e sT Sen(t )dt de dos formas o
métodos, usando integración por partes o utilizando la formula que se vio en clase, la cual estaba escrita en el tablero el día del parcial:
e
ax
a ax b ax Sen(bx) 2 e Sen(bx) 2 e Cos(bx) , donde a=-s y b=1. 2 2 a b a b
Se resolverá el problema utilizando la ecuación anterior, por ser el método más rápido:
st s 1 st e Sen(t ) (s) 2 12 e Sen(t ) (s) 2 12
st e Cos (t ) 0
1 s st 2 e Sen(t ) 2 e st Cos(t ) s 1 s 1 0
e st 2 sSen(t ) Cos (t ) s 1 0 e s 0 s sSen( ) Cos( ) e2 sSen(0) Cos(0) 2 s 1 s 1 s e s 1 1 1 e s e 2 (1) 2 1 2 2 2 s 1 s 1 s 1 s 1 s 1 g (t )
1 1 e 2s
0
e sT Sen(t )dt
1 1 e 2s
1 e s 1 e s s 2 1 1 e 2s ( s 2 1)
1 e s G( s) 1 e 2s ( s 2 1)
También se puede solucionar integrando por partes pero la solución es más laborioso.
EJERCICIO Con condiciones iniciales iguales a cero, la respuesta (de un sistema lineal invariante en el tiempo) a una entrada x(t)=Sen(2t), para t>0, esta dada por y(t)=2e-2t+Sen(2t)-2Cos(2t), para t>0, encontrar la función de transferencia. SOLUCION NOTA:
Este símbolo
significa Transformada de Laplace, NO una integral
Nota:
X ( s) x(t ) Sen(2t )
2 s 4 Sen(2t ) 2Cos(2t ) 2
Y (s) y(t ) 2e 2t
2 2 2s 2( s 2 4) 2( s 2) 2s( s 2) 2s 12 2 2 2 s2 s 4 s 4 ( s 2)(s 4) ( s 2)(s 2 4)
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Ecuaciones Diferenciales
2s 12 X ( s) ( s 2)( s 2 4) 2s 12 H (s) 2 Y (s) 2( s 2) 2 s 4
H ( s)
s6 s2