[CONICAS ELIPSE] Fundamentos Matemáticos
Elipse Un segundo tipo de cónica se denomina elipse y se define como sigue: Definición Una elipse es el conjunto de puntos ( x, y) en un plano tales que la suma de las distancias de estos puntos a dos puntos fijos distintos (focos) es constante como se ve en la siguiente figura 1:
Figura 1.
Figura 2. Geología
Definición de elipse
Descripción de la elipse Página 1
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La recta que pasa por los focos intercepta la elipse en dos puntos denominados vértices. La cuerda que une a los vértices es el eje mayor y su punto medio es el centro de la elipse. La cuerda perpendicular al eje mayor en el centro es el eje menor de la elipse, como se muestra en la figura 2. Para deducir la forma estándar de la ecuación de una elipse considere la elipse de la siguiente figura 3:
Figura 3.
La Trayectoria trazada por el lápiz es una elipse
Si los dos extremos de una longitud fija de una cuerda se sujetan a las tachuelas y la cuerda se jala firmemente con un lápiz la trayectoria trazada por el lápiz es una elipse. Para deducir la forma estándar de la ecuación de una elipse consideramos la elipse de la figura 4 con los puntos siguientes: centro (h, k ) , vértices (h a, k ) y focos (h c, k ) . Observe que el centro es el punto medio del segmento que une los focos.
Geología
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Figura 4.
Deducción de la ecuación de una elipse
La suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los focos es constante. A partir de un vértice esta suma constante es:
( a c ) ( a c ) 2a Longitud del eje mayor O simplemente la longitud del eje mayor. Ahora si ( x, y) es cualquier punto de la elipse, la suma de las distancias entre ( x, y) y los focos también es 2a. Es decir: x h c y k x h c y k 2a 2
2
2
Finalmente en la figura 4, se observa que consecuencia, la ecuación de la elipse es:
2
b2 a 2 c2 . En
b 2 ( x h ) 2 a 2 ( y k ) 2 a 2b 2
x h a2
2
y k b2
2
1
Se obtiene una ecuación similar si el eje mayor es vertical. Los dos resultados se resumen como sigue. Geología
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Ecuación estándar de una elipse La forma estándar de la ecuación de una elipse, con centro h, k y ejes mayor y menor con longitudes 2a y 2b , respectivamente, donde 0 b a es:
x h
2
x h
2
y k
2
y k
2
1 a2 b2 Eje mayor es horizontal 1 b2 a2 El eje mayor es vertical
Los focos están sobre el eje mayor a c unidades del centro, con c2 a 2 b2 . Si el centro está en el origen (0,0) la ecuación adopta una
de las formas siguientes. x2 y 2 1 a 2 b2 El eje mayor es horizontal x2 y 2 1 b2 a 2 El eje mayor es vertical
En la figuras 5 y 6 se muestran dos orientaciones horizontal y vertical para una elipse.
Geología
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Figura 5.
El eje mayor es horizontal
Figura 6.
El eje mayor es horizontal
Nota. Considere la ecuación de la elipse:
x h a2
2
y k b2
2
1
Si a b entonces la ecuación se puede rescribir como: Geología
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x h y k 2
2
a 2 , la forma estándar de la ecuación de una
circunferencia con radio r a . Geométricamente, si en una elipse a b los ejes mayor y menor tienen longitudes iguales, por tanto, la gráfica es una circunferencia. Excentricidad Una de las razones por lo que fue difícil para los primeros astrónomos detectar que las orbitas de los planetas son elipses es que los focos de las orbitas planetarias están, relativamente, cercanos a sus centros y, por lo tanto, las orbitas son casi circulares. Para medir que tan alargada esta una elipse, se emplea el concepto de excentricidad. Definición de excentricidad La excentricidad e de una elipse esta dada por la razón: e
c a
Observe que 0 e 1 para cada elipse La excentricidad se emplea para describir la forma de una elipse. Los focos de una elipse están ubicados en el eje mayor, entre los vértices y el centro. Entonces 0ca
Para una elipse que es casi circular, los focos están cerca del centro y la razón c / a es pequeña, como se muestra en la siguiente figura 7. Por otro lado, para una elipse alargada, los focos están cerca de los vértices y la razón c / a se acerca a 1, como se muestra en la figura 8.
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x
Figura 7.
Figura 8.
Geología
Elipse casi circular
Elipse no circular
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La orbita de la Luna tiene excentricidad e 0.0549 y excentricidades de las nueve orbitas planetarias son como sigue:
las
Tabla 1. Excentricidades de las nueve orbitas planetarias Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno Plutón
e 0.2056 e 0.0068 e 0.0167 e 0.0934 e 0.0484 e 0.0542 e 0.0472 e 0.0086 e 0.2488
Problemas propuestos Problema 1 Encuentre la ecuación de la elipse con vértices (5,0) y excentricidad e
3 5
Planteamiento del problema Vértices: h a, k (5,0) a 5
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Excentricidad: c 3 3 c a3 a 5 5 2 2 2 b a c 25 9 16 e
Centro: (0,0) (h, k )
x h a2
2
y k b2
2
1
x2 y 2 1 25 16
Tecnología Se puede emplear algún software matemático en este caso empleamos el software matemático de la página: http://www.wolframalpha.com Y obtenemos:
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Aplicación Las elipses tienen muchos usos prácticos y estéticos. Por ejemplo, los engranes de máquinas, los arcos de soporte y los diseños acústicos, pueden incluir formas elípticas. Las orbitas de satélites y planetas son elipses. Para Modelarlo Problema 2 Orbita de un cometa. El cometa Halley tiene orbita elíptica con el Sol en un foco. La excentricidad de la orbita es aproximadamente 0.067. La longitud del eje mayor de la orbita es casi 35.88 unidades astronómicas (una unidad astronómica es cercana a 149.5 millones de kilómetros). a. Encuentre la ecuación de la orbita. Coloque el centro de la orbita en el origen y el eje mayor en el eje x. b. Emplee un graficador para trazar la gráfica de la ecuación de la orbita. c. Encuentre las distancias mayor (afelio) y menor (perihelio) desde el centro del Sol hasta el centro del cometa.
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Planteamiento del Problema Inciso a 35.88 17.94 2 c ea 17.35 a
b 2 a 2 c 2 20.82 x2 y 2 1 a 2 b2 x2 y2 1 321.84 20.82
Inciso b Se puede emplear algún software matemático en este caso empleamos el software matemático de la página: http://www.wolframalpha.com Para obtener la siguiente gráfica
Inciso c
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El centro del Sol se encuentra en un foco de la órbita, 17.35 unidades astronómicas del centro de la órbita Apogeo 17.35 Perigeo
1 35.88 35.29 unidades astronomicas 2
1 35.88 17.35 0.59 unidades astronomicas 2
Problema 3 Identifique la cónica como una circunferencia o una elipse. Después encuentre el centro, los radios, los vértices, los focos y la excentricidad de la cónica (si es aplicable y trace su gráfica). 9 x2 25 y 2 36 x 50 y 60 0
Planteamiento del problema 9( x 2 4 x 4) 25( y 2 2 y 1) 60 36 25 9( x 2) 2 25( y 1) 2 1
x 2 1/ 9
2
y 1
2
1 / 25
1
Elipse 1 1 4 a ,b ,c 3 5 15
Centro: h, k 2,1 5 7 Vértices: h a, k ,1 , ,1 3 3 34 26 Focos: h c, k ,1 , ,1 15 15
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Excentricidad: e
c 4 e a 5
Gráfica:
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