Examen Rapido 3 Ecuaciones Diferenciales

2013

Profesor: Gerson Villa González

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: gvilla@ipn.mx

Ecuaciones Diferenciales

Nombre: Grupo: Ecuaciones Diferenciales

Fecha: 22‐02‐2013

Calificación

Instrucciones:  

La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 40% Cada valor tiene 5 puntos

Problemas Problema 1 Resuelva la ecuación de Bernoulli dada.

xy 1  xy 2 

dy  1, y (1)  0 dx

Solución Rescribimos la ecuación a su forma estándar con respecto a x :

dx  xy  x 2 y 3 dy Donde

P( x)   y , f ( x)  y 3 , n  2 , remplazando se tiene en: dw  1  n  P( x) w  1  n  f ( x)  dx dw  1  2   y  w  1  2  y 3  dx

 

dw  y  w   y 3 Ecuación Lineal de Primer Orden dx

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Entonces tenemos que el factor integrante de esta ecuación lineal es:

z( y)  e

p ( y ) dy

z  y   e

ydy



 z  y   e

y 2 /2 

Por lo tanto multiplicando el factor integrante ala ecuación diferencial lineal de primer orden tenemos: y2  dw   y  w   y3   e2   dx  y2 y2 d  2  2    w e e y3   dy  

Integramos ambos lados

   e 2 y 3 dy   

y2 d   w e   dy  2 dy 

y2



Integración por partes y2

y2





e 2  y2  2  c 

we 2 

Resultado de la integración por partes

 w  x1 n  w  x1 2  w  x 1 y2

y2





x 1  e 2  e 2  y 2  2  c x 1 

e

y2 2

  y2  2  c  y2

e2 y2

x 1   y 2  2  ce 2  Solución General

Con la condición inicial

y 1  0 

x 1 y0

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Sustituyendo estos valores en la solución general tenemos y2

x 1   y 2  2  ce  2  (1) 1    0   2  ce 2

 0 2 2



1  2  c  c  1 Por lo tanto la solución particular seria la siguiente: 1

2

 y2

x   y  2  ce   2

Solución General

dado el valor c  1  y2

x 1   y 2  2  e 2 

Solución Particular dada la condición incial

Problema 2 Resuelva la siguiente ecuación diferencial de Ricatti.





dy  e x  1  2e x y  y 2 , y1  x   e x dx Solución Donde





P( x)  e x , Q( x)  1  2e x , R( x)  1 , remplazando se tiene en: dw   Q  2 y1R  w   R  dx dw  1  2e x  2 e x 1 w   1  dx



   

dw  1  w  1 Ecuación Lineal de Primer Orden dx

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Entonces tenemos que el factor integrante de esta ecuación lineal es:

z ( x)  e 

p ( x ) dx



1 dx z  x   e    z  x   e x

Por lo tanto multiplicando el factor integrante ala ecuación diferencial lineal de primer orden tenemos:

 dw   w  1  ex   dx  d  w  e x   e x   dx Integramos ambos lados

d  x x  dx  w  e  dx   e dx  w  e  x  e x  c  w  u 1  u 1  e x  e x  c u

1



e x  c ex



u 1  1  ce  x  1 1  1  ce  x  u  u 1  ce x Entonces la solución de la ecuación es:

1 y  e x  1  ce x  Solución General

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Problema 3 Verificar en el siguiente problema si la EDO es exacta si lo es resuélvala, si no lo es encuentre un factor integrante para hacerla exacta si es posible y resuélvala.

 x  senx  seny  dx  cos ydy  0 Solución

 M  cos y  M  x  senx  seny  y

  N cos y  N    0  x Como

M N  la ecuación no es exacta y x

Sea

f ( x) 

dx 1  M N  cos y  0    1  u  e   N  y cos y x 

u  ex

 xe

x

 senxe x  senye x  dx  e x cos ydy  0

 M  e x cos y   M  xe  senxe  senye  y

  x  N  N  e cos y x   e cos y  x x

Como

x

x

M N  la ecuación es exacta y x

f ( x, y ) tal que

f ( x, y ) f ( x, y ) M y  N de donde x y

f ( x, y )  xe x  e x senx  e y seny integrando respecto a x se tiene: x Ecuaciones Diferenciales

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f ( x, y )    xe x  e x senx  e x seny  dx  g ( y ) f ( x, y )  xe x  e x  e x seny  e x

 senx  cos x   g ( y) 2

Derivando

 ( x, y )  e x cos y  g '( y )  N y e x cos y  g '( y )  e x cos y Entonces g ( y )  c remplazando en la función

 senx  cosx  f ( x, y )  xe x  e x  e x seny  e x  c 2    senx  cosx   xe x  e x  e x seny  e x  k 2  

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