SEGUNDO EXAMEN DEPARTAMENTAL DE FUNDAMENTOS MATEMATICOS
Fundamentos Matemáticos
1PM2 2 Departamental Autor: Gerson Villa González
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Desigualdades Problema 1 Resuelva la desigualdad y grafique la solución en la recta numérica.
x2 2 x x2 9
0
Solución Rescribimos nuestra desigualdad de la siguiente forma
x x 2 0 x 3 x 3 Por lo tanto los ceros o puntos criticos serian: x 0, x 2, x 3 Por lo tanto los intervalos de prueba serán los siguientes dado los puntos críticos:
, 3 , 3, 2 , 2,0 , 0,3 , 3, Recordando que tenemos la propiedad
a 0 sii ab 0 b x x 2 x 3 x 3 0 Por lo tanto la tabla para encontrar el conjunto solución será la siguiente:
, 3 x x2 x3 x3 Comportamiento Petroleros
+
3, 2 + -
2,0 + + +
0,3
3,
+ + + -
+ + + + + Página 1
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Por lo tanto el conjunto solución será: 3, 2 0,3 Problema de Desigualdades Problema 2 Altura de un proyectil. Un proyectil se dispara directamente hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 48.8 metros por segundo. a. ¿En que instante regresará al nivel del suelo? b. ¿Cuánto excederá la altura 117.0 metros? Solución Supongamos que en t 0 , un proyectil es lanzado desde la posición inicial dad por el vector x0 , y0 con una velocidad inicial cuya magnitud es v0 y formando un ángulo 0 con la horizontal. Las ecuaciones para la velocidad y la posición del proyectil para cualquier tiempo t son:
vx (t ) vo coso constante v y (t ) v yo gt vo sen gt x(t ) xo vxo t vo coso t 1 1 y (t ) yo v yo t gt 2 vo seno t gt 2 2 2 Utilizamos esta ecuación
Por consiguiente lo que tenemos es
1 y (t ) v yo t gt 2 yo 2 y (t ) 48.8t 4.905t 2 yo y (t ) 4.905t 2 48.8t yo Petroleros
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Para el inciso a tendremos:
4.905t 2 48.8t 0 4.905t (t 9.95) 0 t1 0, t2 10 El instante que regresara a nivel del suelo será en t 10segundos Para el inciso b tendremos
4.905t 2 48.8t 117 4.905t 2 48.8t 117 0
2
4.905 t 9.95t 23.85 0
t 2 9.95t 23.85 0 Por lo tanto encontramos las raíces del polinomio de segundo orden
a 1 b b 2 4ac b 9.95 t1,2 2a c 23.85 t1,2
9.95
9.952 4 1 23.85 2 1
9.95 99.025 95.4 2 9.95 3.625 5.93 t1 2 9.95 3.625 4.025 t2 2 t1,2
Por lo tanto el tiempo en donde excederá la altura 117.0 metros será
4t 6 Petroleros
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Fracciones Parciales Problema 3 Escriba la descomposición en fracciones parciales de la expresión racional. Compruebe su resultado de forma algebraica
x 2 12 x 12 x3 4 x Solución
x 2 12 x 12 x3 4 x
A B C x x2 x2
x 2 12 x 12 A( x 2)( x 2) Bx( x 2) Cx( x 2) x 2 12 x 12 Ax 2 2 Ax 2Ax 4 A Bx 2 2 Bx Cx 2 2Cx x 2 12 x 12 A B C x 2 2 B 2C x 4 A A B C 1 3 B C 1 B C 4 2 B 2C 12 2 B 2C 12 4 A 12 A 3 Si trabajamos con las ecuaciones
BC 4
C 5, B 1 2 B 2C 12 Por lo tanto la descomposición en fracciones parciales quedaría de la siguiente forma
x 2 12 x 12 3
x 4x
Petroleros
3 1 5 x x2 x2
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Problema 4 Escriba la descomposición en fracciones parciales de la expresión racional impropia.
x2 x x2 x 1 Solución Realizamos la división polinomica para trabajar con el residuo
1 x2 x 1 x2 x x2 x 1 - 2 x -1 Tenemos que por lo tanto la descomposición en fracciones parciales es:
x2 x x2 x 1
1
2 x 1 x2 x 1
Problema 5 Circunferencia Determinar la ecuación a la recta tangente a la circunferencia 5 5 x 2 2 y 12 en el punto ,0 4 2 Solución Tenemos que
Petroleros
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m
y2 y1 0 1 1 2 5 1 x2 x1 2 2 2
La pendiente de la recta tangente debe ser m
1 2
Sustituimos este valor en la relación punto-pendiente de la recta y 5 empleamos el punto de tangencia ,0 2
y y1 m x x1 1 5 y0 x 2 2 5 2 y 1 x 2 5 2 y x 2 4 y 2 x 5 2x 4 y 5 0
Petroleros
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