Segundo Departamental de Calculo Vectorial

SEGUNDO DEPARTAMENTAL de CALCULO VECTORIAL

Calculo Vectorial

GRUPO: 1GM4

2 Departamental Autor: Gerson Villa González

[SEGUNDO DEPARTAMENTAL DE CALCULO VECTORIAL] 2 Departamental

Vectores y Geometría en el Espacio Problema 1 Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta.

La recta que pasa por le punto

 2,1, 2 

y es paralela a la recta

x  t , y  1  t , z  2  t Solución Para encontrar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta, hacemos lo siguiente: Tomamos el Punto P( xo  2, yo  1, zo  2) siguiente:

y el vector dirección

1,1,1 de la recta x  t , y  1  t , z  2  t Por lo tanto los directores serán: d1  1, d 2  1, d3  1 Y las ecuaciones paramétricas serán las siguientes:

x  xo  td1, y  yo  td 2 , z  zo  td3  x  2  t, y  1  t, z  2  t Problema 2 Determinar si las rectas se cortan, y si es así, hallar el punto de intersección y el coseno del ángulo de intersección

x y2 x 1 z 3   z  1,  y2 3 1 4 3 Solución Tenemos que rescribir las ecuaciones simétricas en ecuaciones paramétricas de las rectas por lo tanto obtendremos lo siguientes:

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Para la primera linea recta

x y2 1 : t  , t  ,t  z  1  1 3 x  3t , y  2  t , z  1  t Para la segunda linea recta x 1 z3  , s  y  2, s  3 4 x  1  4 s, y  2  s, z  3  3s

2 : s 

Para encontrar las coordenadas del Punto igualamos las ecuaciones paramétricas como sigue en x y y : 3t  1  4 s  4 s  3t  1 2  t  2  s  s  t  4

Resolvemos el sistema de ecuaciones y tenemos, de la segunda ecuación despejamos a s  s  4  t , sustituimos en la ecuación 1

4  4  t   3t  1  16  4t  3t  1  16  7t  1  7t  1  16  t  17 / 7 Sustituimos el valor de t en la segunda ecuación y tenemos

st 4 17 17 4 s 4  7 7 28  17 11 s   7 7 s

s

11 7

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Tenemos que tener en cuenta que cuando usamos estas igualaciones de x e y , las coordenadas en z no son iguales, por l tanto las líneas rectas no se intersectan.

Problema 3 Determinar si los planos son paralelos, ortogonales, o ninguna de las dos cosas. Si no son ni paralelos ni ortogonales, hallar el ángulo de intersección.

x  5y  z 1 5 x  25 y  5 z  3 Solución Tenemos que los vectores normales de los planos son

n1  1, 5, 1 y n2  5, 25, 5 Por lo tanto los planos son paralelos debido a la relación siguiente:

n2  5n1 Funciones Vectoriales Problema 4 Hallar el dominio de la función vectorial

r (t )  ln ti  et j  tk Solución Recordemos que un radio vector esta formado de la siguiente manera

r (t )  f1(t )i  f 2 (t ) j  f3 (t )k  f1(t )  ln t f 2 (t )  et f3 (t )  t Geología

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Por lo tanto el dominio de la primera función será de  0,  , ya que la función logaritmo natural es valida a partir de valores de 0.1 en adelante.

El domino de la segunda función será valida para  ,   , ya que la función exponencial es una función que nunca se anula.

El dominio de la tercera función será valida para  ,   , ya que la línea recta t , nunca se anulara, ni se indeterminara.

Por lo tanto el dominio de la función en conjunto estará regida por la función de logaritmo natural el cual será  0,  Problema 5 Hallar el vector unitario tangente T (t )

y hallar un conjunto de

ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la curva en el espacio en el punto P.

r (t )  ti  t 2 j  tk , P(0,0,0) Solución Para encontrar el vector unitario tangente hacemos lo siguiente: Primero derivamos el vector posición y obtendremos

r '(t )  i  2tj  k Cuando t  0  r '(0)  i  k Segundo, calculamos el vector tangente unitario

T (0) 

r '(0) ik ik    2 2 r '(0) 2 1 1

T (0) 

2 i  k  2

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Los números directores por lo tanto son

d1  1, d 2  0, d3  1 Por lo tanto las ecuaciones paramétricas debido a los directores son x  t , y  0, z  t

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