Primer Examen Departamental de Calculo Diferencial Nombre Grupo 2TM3 Carrera: Ingeniería Topográfica Profesor: Gerson Villa González Instrucciones
Cada problema vale 2 puntos Procedimientos no correctos no se tomaran en cuenta La duración del examen es de 1: 20 min No se permite formulario El examen es individual no en equipo
x 2 si 2 x 0; 1. Dada h(x) 1 si x 0; 3x si 0 x 1 ¿Existe limh(x) ? x 0
3
2. Calcular el siguiente lim h 0
3. Calcular el siguiente lim
x
4. Sea h(x)
3 3x 2
xh 3 x h
2x 3
3x 2
3
. Usando la definición de la derivada, calcule h '(a) . Calcular
también usando lo anterior, h '(0) así como h '(8) 5. Utilizando reglas de derivación, calcular la derivada de las función siguiente
y x x x 1
Grupo 2TM3
⎧ 2 ⎪ ⎨x Dada h.x/ D 1 ⎪ ⎩ 3x
si 2 < x < 0I si x D 0I si 0 < x < 1:
¿Existe lím h.x/? x!0
H
Notemos que h.x/ está definida de diferente manera para x < 0 y para x > 0.
Damos a x valores cada vez más cercanos al cero, por ambos lados, y obtenemos las imágenes h.x/ correspondientes.
x
h.x/ D x2
x
h.x/ D 3x
0:1
0:01
0:1
0:3
0:01
0:0001
0:01
0:03
0:001
0:000001
0:001
0:003
0:0001
0:00000001
0:0001
0:0003
0:00001
0:0000000001
0:00001
0:00003
#
#
#
#
0
0
0C
0
Podemos decir entonces que lím h.x/ D 0, pues si x está cada vez más cerca de 0, h.x/ está cada vez más cerca de 0. Geométricamente tenemos
x!0
y D x2
y
y D 3x
y D h.x/
x
2
1
H
p p p p p p p p 3 3 . 3 x C h/2 C 3 x C h 3 x C . 3 x/2 xCh 3 x xCh 3 x D D lím p p lím p p h!0 h h!0 h . 3 x C h/2 C 3 x C h 3 x C . 3 x/2 p p . 3 x C h/3 . 3 x/3 p p D lím D p p 3 3 h!0 hŒ. x C h/2 C x C h 3 x C . 3 x/2 xCh x p p D D lím p p 3 3 2 h!0 hŒ. x C h/ C x C h 3 x C . 3 x/2 h p p D D lím p p 3 3 2 h!0 hŒ. x C h/ C x C h 3 x C . 3 x/2 1 p D lím p D p p 3 3 2 h!0 . x C h/ C x C h 3 x C . 3 x/2 1 1 p p p D p D p , para x ¤ 0: 3 3 3 3 3 2 2 . x/ C x x C . x/ 3 x2
2x C 3 Calcular: lím . x!C1 .3x 2/3 H
Como x ! C1, podemos pensar que x > 0 por lo que j x j D x.
lím
x!C1
2x C 3 .3x
2/3
2x C 3 D lím p D lím 3 x!C1 x!C1 27x 54x 2 C 36x 8
3 x 2C x
D 36 54 8 C 2 3 27 x x x 3 3 x 2C x 2C x x D lím D D lím x!C1 p x!C1 p p 36 36 54 8 54 8 3 2 C 2 3 C 2 3 x 27 x x 27 x x x x x x 3 2C x D lím D 0: x!C1 p 36 54 8 C 2 3 x 27 x x x x3
Otro procedimiento: Multipliquemos numerador y denominador por y por ende que
1 1 1 y como x ! C1 podemos suponer que D x x jx j
1 1 D p ; entonces, x x2
3 3 3 2C 2C x x x D D D 8 36 .3x 2/3 .3x 2/3 27x 3 54x 2 C 36x 8 2 27x 54 C p 2 2 x x x x 2x C 3
2C
y también, lím
x!C1
2x C 3 .3x 2/3
2C
3 x
D lím D 0: x!C1 8 36 2 27x 54 C x x
3 . Usando la definición de la derivada, calcular h 0 .a/. Sea h.x/ D p 3x C 2 Calcular también, usando lo anterior, h 0 .0/ así como h 0 .8/. H
Calculamos el cociente diferencial: 3 3 p p h.x/ h.a/ 3x C 2 3a C 2 D D x a x a p p 3a C 2 3x C 2 p p 3x C 2 3a C 2 D3 D p x a p 3x C 2 3a C 2 p D 3 p D 3x C 2 3a C 2.x a/ p p p p 3x C 2 3a C 2 3x C 2 C 3a C 2 p p D 3 p p D 3x C 2 3a C 2.x a/ 3x C 2 C 3a C 2 .3x C 2/ .3a C 2/ p p p D 3 p D 3x C 2 3a C 2.x a/. 3x C 2 C 3a C 2/ x a p p p D D 9 p 3x C 2 3a C 2.x a/. 3x C 2 C 3a C 2/ 1 p p p D 9 p si x a ¤ 0: 3x C 2 3a C 2. 3x C 2 C 3a C 2/
Por lo que: h 0 .a/ D lím
x!a
h.x/ h.a/ D x a
1 D lím 9 p p p p D x!a . 3x C 2/. 3a C 2/. 3x C 2 C 3a C 2/ 1 p D 9 p D 2 . 3a C 2/ .2/ 3a C 2 9 1 D : 2 .3a C 2/ 32 Hemos obtenido, por lo tanto, que en todo punto: 2 3 2 , con a > , pues Df D ; C1 , de la gráfica de la función h, la Œa; h.a/ D a; p 3 3 3a C 2 9 1 pendiente de la recta tangente vale h 0 .a/ D . 3 2 .3a C 2/ 2 9 2 1 Concluimos con esto que h 0 .x/ D si x > . 3 2 3 .3x C 2/ 2 Usando este resultado: 3 9 1 2 9 0 h .0/ D D p I 2 2 4 2 32 9 1 9 h 0 .8/ D D p : 2 26 52 26
yDx
p xC xC1.
H d dy D dx dx
" p x xC xC1 D
1 " p p d d 2 xC xC1 C x C x C 1 .x/ D dx dx " 1
1 p p p 1 d 2 xC xC1 .x C x C 1/ C x C x C 1.1/ D Dx 2 dx " 1
1 p p d 1 d 2 xC xC1 .x/ C .x C 1/ 2 C x C x C 1 D Dx 2 dx dx " 1 p 1 1 x 1 d 2 D .x C 1/ .x C 1/ C x C x C1 D 1 C 1 p 2 2 dx x C x C1 2 " 1 p 1 x 2 1 C .x C 1/ .1 C 0/ C xC xC1D D p 2 2 xC xC1 ⎡ ⎤ " p x 1 ⎣ ⎦ D xC xC1D 1 C C p 1 2 xC xC1 2.x C 1/ 2 p " p x 2 x C1C1 p D C xC xC1D p 2 xC xC1 2 xC1 p " p x.2 x C 1 C 1/ D p C xC xC1D p 4 xC1 xC xC1 p p p x.2 x C 1 C 1/ C 4 x C 1.x C x C 1/ D D p p 4 xC1 xC xC1 p p 2x x C 1 C x C 4x x C 1 C 4.x C 1/ D D p p 4 xC1 xC xC1 p 6x x C 1 C 5x C 4 : D p p 4 xC1 xC xC1 p 6x x C 1 C 5x C 4 dy D p : Luego, p dx 4 xC1 xC xC1 Dx