Solución Examen Rápido 2 Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Exactas Determine si la ecuación es exacta, si es exacta resuélvala. 1.
y
3
y2senx x dx 3xy 2 2y cos x dy 0
Solución Primero verificamos que la ecuación tenga la forma
M(x,y)dx N(x,y)dy 0 Segundo identificamos las funciones siguientes, de acuerdo al formato de la ecuación diferencial de primer orden:
M(x,y) y3 y 2senx x N(x,y) 3xy 2 2y cos x Tercero comprobamos la condición de que es exacta para poder solucionarla
M N : y x
M 3y 2 2ysenx y N 3y 2 2ysenx x Cuarto iniciamos el proceso de solución para obtener la solución general.
f y 3 y 2senx x x
f(x,y) M(x,y)dx h(y)
f 3xy 2 2y cos x y
f(x,y) y 3 y 2senx x dx h(y) f(x,y) y 3 dx y 2 senxdx xdx h(y) x2 f(x,y) y x y cos x h(y) 2 3
2
Quinto derivamos la función con respecto de " y " 1
Solución Examen Rápido 2 Ecuaciones Diferenciales
f(x,y) 3 x2 2 y x y cos x h(y) 3xy 2 2y cos x y y 2 3y 2 x 2y cos x h'(y) 3xy 2 2y cos x h'(y) 0
Sexto calculamos h(y)
h'(y)dy 0dy h(y ) c1 Séptimo sustituimos el valor de h(y) en la función de f(x,y)
x2 f(x,y) y x y cos x c1 2 3
2
Ahora igualamos a f(x,y) c 2
x2 c 2 y x y cos x c1 2 C c 2 c1 3
2
x2 C y x y cos x 2 3
2
2. 1 ln x
y dx 1 ln x dy x
Solución Primero verificamos que la ecuación tenga la forma
M(x,y)dx N(x,y)dy 0
y 1 ln x dx 1 ln x dy 0 x Segundo identificamos las funciones siguientes, de acuerdo al formato de la ecuación diferencial de primer orden: 2
Solución Examen Rápido 2 Ecuaciones Diferenciales
M(x,y) 1 ln x
y x
N(x,y) 1 ln x Tercero comprobamos la condición de que es exacta para poder solucionarla
M N : y x
M 1 y x N 1 x x Cuarto iniciamos el proceso de solución para obtener la solución general.
f y 1 ln x x x
f 1 ln x y
f(x,y) N(x,y)dy g(x) f(x,y) 1 ln x dy g(x) f(x,y) dy ln x dy g(x) f(x,y) y y ln x g(x) Quinto derivamos la función con respecto de "x"
f(x,y) y y y ln x g(x) 1 ln x x x x y y g'(x) 1 ln x x x g'(x) 1 ln x Sexto calculamos g(x)
g'(x)dx 1 lnx dx g(x) x x ln x x Séptimo sustituimos el valor de g(x) en la función de f(x,y) 3
Solución Examen Rápido 2 Ecuaciones Diferenciales
f(x,y) x y ln x x ln x Ahora igualamos a f(x,y) C
C x yln x xln x Ecuaciones diferenciales lineales Halle la solución de la ecuación diferencial lineal dada 3. xdy (xsenx y)dx Solución Reescribiendo la ecuación diferencial de la forma:
dy P(x)y f(x) dx dy xsenx y dy xsenx y dy y xsenx dx x dx x x dx x x dy y senx dx x Hallamos el factor integrante a través de P(x)
P(x)
1 xsenx ,f(x) x x
P( x )dx u(x) e u(x) e
dx x
u(x) e
Ln x
u(x) x
Multiplicamos por el factor integrante a toda la ecuación diferencial:
dy y xsenx x x dx x Por lo tanto el proceso de solución es el siguiente
4
Solución Examen Rápido 2 Ecuaciones Diferenciales
d xsenx x y x dx x d x y xsenx dx Integramos ambos lados
d
dx x y dx xsenx dx xy
xsenx dx Integracion por partes
xsenx dx
u x du dx
dv senxdx v cos x
x cos x cosxdx xcosx senx En consecuencia tenemos
xy x cos x senx c y cos x x 1senx cx 1 4.
dr r sec cos d
Solución Reescribiendo la ecuación diferencial de la forma:
dr P()r f() d Hallamos el factor integrante a través de P()
P() sec ,f() cos u() e
P( )d
u() e
sec d
Ln sec tan
u() e
u() sec tan
Multiplicamos por el factor integrante a toda la ecuación diferencial:
sec tan
dr r sec cos d 5
Solución Examen Rápido 2 Ecuaciones Diferenciales
Por lo tanto el proceso de solución es el siguiente
d sec tan r sec tan cos d d sen 1 sec tan r cos d cos cos d sec tan r 1 sen d Integramos ambos lados
d d sec tan r d 1 sen d sec tan r cos C En consecuencia tenemos
sec tan r cos C
6