Examen rapido 2 2014

Solución Examen Rápido 2 Calculo Vectorial

Producto Punto y Proyecciones 1. Determine v  2i  4j 

u  2i  4j  5k

5k,

a. v  u, v , u b. El coseno del ángulo entre v y u c. La componente escalar de u en la dirección de v d. El vector proy vu Solución Inciso a

v  u   2  2    4  4    v  u  4  16  5  25

   25  5    5   25  5

v  22   4   2

u

 2   42 2

 5   5  

2

5

2

Inciso b

cos  

 v u v u    cos1    v u  v u  

 



  2  2    4  4   5  5      cos     2i  4j  5k 2i  4j  5k   1

     25   cos1   2 2 2 2 2 2  2   4   5  2   4   5    25  1  25  1   cos1    cos  25   cos  1     25 25  0

 





Lo que significa que son ortogonales o perpendiculares los vectores.

Inciso c

1

Solución Examen Rápido 2 Calculo Vectorial

u cos   u cos  

uv v  u  v v

 2 

2



 42   5



2

cos0  25 1  5

Inciso d

uv  uv proy vu   2  v  proy vu  v  v  vv   proy vu 

 2 2    4  4     2 2   4  4   

proy vu 

25 2i  4j  25



  2i  4j  5k    5  5  5k   proy u   2i  4 j  5k  5  5

v

2. Rectángulo. Calcule las medidas de los ángulos entre las diagonales del rectángulo cuyos vértices son A  1,0  ,B   0,3  ,C   3,4  y D  4,1 Solución

AC  2,4 y BD  4, 2 .AC  BD  2  4  4  2  0 Por lo que las medidas de todos los ángulos son de 90º

Nota.

Rectángulos: Son los paralelogramos que tienen: 2

Solución Examen Rápido 2 Calculo Vectorial

a. sus lados opuestos iguales y paralelos, b. sus cuatro ángulos iguales y cada uno vale 90º, c. tiene iguales sus diagonales.

Los lados AB y CD son iguales y paralelos lo mismo que los lados BC y AD. Las diagonales AC y BD también son iguales entre sí.

3. Escriba u como la suma de un vector paralelo a v y uno ortogonal a v Solución

u  proy vu   u  proy vu  paralelo a v

ortogonal a v

v u   v u   u v   u  v  vv  vv   u

 14 14 28 14  i  2i  k    8i  4j  12k    i  j  k    3 3 3   3 

22   14 28 14   10 16 u  i j  k   i  j k 3 3 3 3 3 3    

3