Examen rapido 2 ecuaciones diferenciales

1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas

4 x  3 y  y '  2 y  3x   0 Solución

y  ux  dy  udx  xdu , a la ecuación diferencial la escribiremos así:

 4x  3y  dx   2y  3x  dy  0

Ahora reemplazando se tiene

 4x  3ux  dx   2ux  3x udx  xdu   0

 4  3u  dx   2u  3 udx  xdu   0

 2u

2

2

, simplificando

, agrupando



 6u  4 dx  x  2u  3  du  0 , separando variables

dx 2u  3  2 du  0 , integrando x u  3u  2

2

dx 2u  3  2 du   0 x u  3u  2 1

2

1.  2

3

dx  2Ln x x

 z  u2  3u  2 2u  3  2.   2 du  dz  u  3u  2 dz   2u  3  du  du  2u  3  2u  3 dz dz 2  z 2u  3   z  ln z  ln u  3u  2 3.   0  c

Entonces:





2ln x  ln u2  3u  2  c  ln x2 u2  3u  2  c Sustituyendo u

y x

Tenemos





2ln x  ln u2  3u  2  c  ln x 2 u2  3u  2  c  2 ln x   y 2 y ln x     3    2   c  e  x   x  

2

  y 2  y      3   2   x   x   

 ec 

 ec  k   y 2  y x     3    2   k  y 2  3yx  2x 2  k  x   x   2

H4x-3yLdx+H2y-3xLdy=0 Input:

H4 x - 3 yL â x + H2 y - 3 xL â y 0

ODE classification:

first-order nonlinear ordinary differential equation Differential equation solutions:

yHxL yHxL

1 3x 2 1

Step-by-step solution

4 c1 + x 2

4 c1 + x 2 + 3 x

2

Plots of sample individual solution:

y¢

y

yH0L 1 y

x

Sample solution family: y 60 50

Hsampling yH0LL

40 30 20 10 x 5

10

15

20

25

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1

Solve -3 yHxL + H2 yHxL - 3 xL

â yHxL âx

Let yHxL x vHxL, which gives 4 x + H-3 x + 2 x vHxLL x

â vHxL âx

+4x 0 :

â yHxL âx

vHxL + x

âvHxL : âx

+ vHxL - 3 x vHxL 0

Simplify: â vHxL x x + vHxL H2 vHxL - 3L - 3 vHxL + 4 0 âx Solve for â vHxL âx

âvHxL : âx

-

2 IvHxL2 - 3 vHxL + 2M x H2 vHxL - 3L

Divide both sides by âvHxL âx

H2 vHxL - 3L

vHxL2 - 3 vHxL + 2

vHxL2 -3 vHxL+2 : 2 vHxL-3

-

2 x

Integrate both sides with respect to x: á

âvHxL âx 2

H2 vHxL - 3L

vHxL - 3 vHxL + 2

âx à -

2 âx x

Evaluate the integrals: logIvHxL2 - 3 vHxL + 2M -2 logHxL + c1 , where c1 is an arbitrary constant.

Solve for vHxL: vHxL -

x4 + 4 ãc1 x2

3 +

2 x2

2

or vHxL

x4 + 4 ãc1 x2

3 +

2 x2

2

Simplify the arbitrary constants: vHxL -

x4 + c1 x2 2 x2

3 + 2

or vHxL

x4 + c1 x2 2 x2

3 + 2

Substitute back for yHxL x vHxL: Answer:

yHxL x -

x4 + c1 x2 2 x2

3 + 2

or yHxL x

x4 + c1 x2 2 x2

3 + 2

4 x2  xy  y 2  y '  x 2  xy  4 y 2   0 Solución La ecuación diferencial

 4x

2

 xy  y 2  dx   x 2  xy  4 y 2  dy  0 es homogénea

Sea y  ux  dy  udx  xdu , reemplazando la ecuación

 4x

2







 ux  u2 x 2 dx  x 2  ux 2  4u2 x 2 udx  xdu   0

Simplificando tenemos

 4u

3







 4 dx  x 4u2  u  1 du  0 separando las variables tenemos

dx 4u2  u  1 4  du  0 , integrando x u3  1 4

dx 4u2  u  1  du   0  x u3  1 2Fracciones Parciales 

1

4ln x   1

3

2 2u  1 du   2 du  c  u 1 u u 1 3 2

ln x  2ln u  1  ln u2  u  1  c 4

Por lo tanto tenemos





ln x 4  u  1 u2  u  1  c  e 2





ln x 4  u 1 u2 u 1 2

 ec

 ec  k





x 4  u  1 u2  u  1  k  2

 u  1 u  1  k



x 4  u  1 u  1 u2  u  1  k x4

u 

3

y x

3 3   y  y   y  x   y  1 x   1     1  k  x 4   k  3   x    x   x  x   4

 y  x   y3  1  k

1 1  x 2 lim x2 x  2 Solución

Solve Ix2 - x yHxL + 4 yHxL2 M

â yHxL âx

â yHxL

Let yHxL x vHxL, which gives â vHxL

4 x2 + x

âx

+ 4 x2 - x yHxL + yHxL2 0 :

âx

vHxL + x

âvHxL : âx

+ vHxL Ix2 + 4 x2 vHxL2 - x2 vHxLM + x2 vHxL2 - x2 vHxL 0

Simplify: â vHxL â vHxL â vHxL x2 x + 4 vHxL3 + 4 x vHxL2 - x vHxL + 4 0 âx âx âx

Solve for â vHxL âx

âvHxL : âx

-

4 IvHxL3 + 1M

x I4 vHxL2 - vHxL + 1M

Divide both sides by âvHxL âx

vHxL3 +1 4 vHxL2 -vHxL+1

I4 vHxL2 - vHxL + 1M vHxL3 + 1

-

:

4 x

Integrate both sides with respect to x: á

âvHxL âx

I4 vHxL2 - vHxL + 1M vHxL3 + 1

âx à -

4 âx x

Evaluate the integrals: 2 logHvHxL + 1L + logIvHxL2 - vHxL + 1M -4 logHxL + c1 , where c1 is an arbitrary constant.

Substitute back for yHxL x vHxL: Answer:

yHxL2

yHxL 2 log

+ 1 + log x

x2

yHxL x

+ 1 -4 logHxL + c1