Examen rapido 2 ecuaciones diferenciales tipo b

1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas

2 xy '  x 2  y 2   y  y 2  2 x 2  Solución

y  ux  dy  udx  xdu , a la ecuación diferencial la escribiremos así: 2 x  x 2  y 2  dy  y  y 2  2 x 2  dx Es homogénea, ahora reemplazando se tiene









2x x 2  x 2u2 udx  xdu   ux u2 x 2  x 2 dx 









2 1  u2 udx  xdu   u u2  1 dx , simplificando

u

3







 u dx  2 1  u2 xdu  0 , separando variables





2 dx 2 u  1  3 du  0 , integrando x u u





2 u2  1 dx  x   u3  u du   0 1

2

3

dx  Ln x x 2 u2  1 u2  1 du 2.   3 du   2 du  2  2ln u 2 u u u u u 1

1.  





 

 

3.   0  c Entonces:

 

ln x  2ln u  c  ln x u2  c Sustituyendo u

y x

Tenemos

 

ln x u2  c  e

 

ln x u2

 ec 

 ec  k  y2  xu2  k  x  2   k  y 2  kx x 

2xy'Hx^2+y^2L=yHy^2+2x^2L

Input:

2 x Iy ¢ HxL Ix 2 + yHxL2 MM yHxL IyHxL2 + 2 x 2 M

ODE classification:

first-order nonlinear ordinary differential equation Alternate forms:

2 x Ix 2 + yHxL2 M y ¢ HxL 2 x 2 yHxL + yHxL3

I2 x 3 + 2 x yHxL2 M y ¢ HxL 2 x 2 yHxL + yHxL3

Expanded form:

Step-by-step solution

2 x y HxL + 2 x yHxL y HxL 2 x yHxL + yHxL 3

2

¢

2

¢

3

Differential equation solutions:

yHxL yHxL

Step-by-step solution

x W Hx c1 L x

W Hx c1 L

WHzL is the product log function »

Plots of sample individual solution:

y¢

y

yH1L 1 y

x

Sample solution family: y

80

Hsampling yH1LL

60 40 20 x 20

40

60

80

100

120

Generated by Wolfram|Alpha (www.wolframalpha.com) on February 13, 2014 from Champaign, IL. © Wolfram Alpha LLC— A Wolfram Research Company

1

xy '  y 2  x 2 Solución La ecuación diferencial

xdy 





y 2  x 2 dx es homogénea

Sea y  ux  dy  udx  xdu , reemplazando la ecuación

 u x  x  dx  xudx  x du  x  u  1 dx x  udx  xdu  

2

2

2

2

2

Simplificando tenemos

udx  xdu 

du u 1  u 2







u2  1 dx separando las variables tenemos

dx , integrando x



 

u2  1  u du  

dx  x

Sustitucion Trigonometrica



1 1 u 2

 u u

e



u



 

u2  1  u  ln

   1  u   ln 

  1  u   ln  x

u2  1  u  ln

u2  1  u  2ln  x   c 

u2

u2

 

u2 1u ln

e



 u2  1  u   ln  x   c  

u



u2 1u



u 1 u 2

u2 1u



  eln x

 x 2c

Por lo tanto tenemos

2

c



2

c 

e

u



u2 1u

u 

e

e

e

e

  x 2

y  y 2  x 2 y   x x x2  

2 2 y  y  x y   2 x x x  

2 2 y  y  x  y   x x  

y

xe

x2

u2  1  u c

y x

2   y  y  y   1  x  x  x  

3







 y 2 y    x    1  c  x  x   2

 y2  x2 y   x 2   c  2  x x    y2  x2 y   x 2   c  2  x x    y2  x2  y  c  x    x  

y2  x2  y

2







y2  x2  y c

xy'=Hy^2-x^2L^0.5

Input:

x y ¢ Iy 2 - x 2 M 2 1

ODE classification:

first-order nonlinear ordinary differential equation Differential equation solution: yHxL 2

1

yHxL -

2

x

Step-by-step solution yHxL

-1

x

yHxL

+ 1 yHxL

x -1

- 1 c1 + logHxL

+ 2 sinh

x2

x

-1

2 sinh-1 HxL is the inverse hyperbolic sine function » logHxL is the natural logarithm »

Plots of sample individual solution:

y¢

y

x

Im y

y

yH1L 1 Re y

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