Solucion Examen Tipo 1 Ecuaciones Diferenciales

Examen de Reducción Orden y Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes Nombre: ____Solución______ Grupo:__________________

Calificación:__________________ Valor: 20% de la calificación total

1. Utilizando el método de reducción de orden, calcular una segunda solución de la ED dada

 2x  1 y '' 4xy ' 4 y  0; y ( x)  e  y 2 x

1

escribir su solución

general. a. y2  x, y  c1e2 x  c2 x b. y2  2 x, y  c1e2 x  c2 2 x c. y2  ln x, y  c1e2 x  c2 ln x d. y2   x, y  c1e2 x  c2 x e. y2  e x , y  c1e2 x  c2e x Solución

y2 ( x)  u ( x) y1 ( x),  y2  ue 2 x ; y2'  u ' e 2 x  2ue 2 x   u ' 2u  e 2 x ; y2''  u '' e 2 x  4u ' e 2 x  4ue 2 x   u '' 4u ' 4u  e 2 x Sustituyendo en

 2 x  1 y2''  4 xy2'  4 y2  0 se obtiene

 2 x  1 u '' 4u ' 4u  e2 x  4 x  u ' 2u  e 2 x  4ue 2 x  0 Multiplicando por e 2 x se obtiene

 2 x  1 u '' 4u ' 4u   4 x  u ' 2u   4u  0    2 x  1 u ''  8 x  4  4 x  u '  8 x  4  8 x  4  u  0    2 x  1 u ''  4 x  4  u '  0 Dividiendo entre (2 x  1) paranormalizar : u ''

4x  4 u '  0....................( A) 2x 1

Si u '  w , entonces u '' 

dw . Sustituyendo en la ecuación A tenemos lo dx

siguiente:

Ecuaciones Diferenciales

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Examen de Reducción Orden y Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes dw 4 x  4 dw 4 x  4  w0  dx  dx 2 x  1 w 2x 1 2   dw 2  dx  2x 1     w  ln w  2 x  ln  2 x  1  C1   w  e2 x e

ln  2 x 1 C1

e  e 2 x (2 x  1)C1 

 w  C1  2 x  1 e 2 x , pero w   u  C1   2 x  1 e dx 

du  dx

t  2x 1 

dt  2dx;

2x

1 dv  e 2 x dx  v  e 2 x 2 Aplicando integración por partes:

1  u  C1  (2 x  1)e 2 x   e 2 x dx   u  C1 xe 2 x  C2 2  Tomando C1  1 y C2  0, hallamos que y2 ( x)  ue 2 x  xe 2 x  e 2 x  x Por lo tanto la solución general de la ED es: y  c1 y1  c2 y2  c1e 2 x  c2 x

2. Obtener la solución particular de la siguiente ecuación ED 2   9 y '' y  0, con y(0)  1 & y '(0)   .

3  3 1 a. y  e1/3 x  e1/3 x 2 2 1 b. y  e1/3 x  e1/3 x 2 3 1 c. y  e1/4 x  e1/4 x 2 2 1 d. y  e1/3 x 2 e. y  5e1/3 x  e1/3 x

Solución Proponiendo y  erx como solución de la ED, se obtiene la ecuación característica 9r 2  1  0 , cuyas soluciones son Ecuaciones Diferenciales

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Examen de Reducción Orden y Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes 1 1  x  r1  3  y  e ; 1   1 3 r   1 1  3   x 3 r2   y  e .  3  2

Entonces la solución general de la ED es y  c1e1/3 x  c2e1/3 x

Derivando esta solución general, se obtiene

1 1 y '  c1e1/3 x  c2e1/3 x 3 3 Usando las condiciones iniciales y (0)  c1  c2  1; 1 1 2 y '(0)  c1  c2  3 3 3

La solución del sistema anterior, de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, es: c1 

3 1 & c2   2 2

Por lo tanto, la solución particular dadas las condiciones iniciales es: 3 1 y  e1/3 x  e1/3 x 2 2

Ecuaciones Diferenciales

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