Solucion Examen Tipo 2 Ecuaciones Diferenciales

Examen de Reducción Orden y Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes Nombre: _____Solución Grupo:__________________

Calificación:__________________ Valor: 20% de la calificación total

1. Utilizando el método de reducción de orden, calcular una segunda solución de la ED dada  x 2 y '' 3xy ' y  0; y1 ( x)  x 1  y escribir su solución general.

ln x ln x , y  c1 x 1  c2 x x 1 1 b. y2  2 , y  c1 x 1  c2 2 x x 1 c. y2  1, y  c1 x  c2 a. y2 

d. y2  senx, y  c1 x1  c2 senx e. y2  cos x, y  c1 x1  c2 cos x Solución y2  ux 1 ; y '2  u ' x 1  ux 2 ; y ''2  u '' x 1  2u ' x 2  2ux 3

Sustituyendo en la ED x2 y ''2  3xy '2  y2  0 , se obtiene:

x 2  u '' x 1  2u ' x 2  2ux 3   3x  u ' x 1  ux 2   ux 1  0   u '' x  2u ' 2ux 1  3u ' 3ux 1  ux 1  0   u '' x  u '  0 Dividiendo entre x para normalizar, la ED; 1 u '' u '  0....................( A) x

Si u '  w , entonces u '' 

dw ; sustituyendo en la ecuación diferencial (A) dx

tenemos:

Ecuaciones Diferenciales

Página 1

Examen de Reducción Orden y Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes dw 1 dw dx  w0   dx x w x dw dx     ln w   ln x  C1  ln x 1  ln C1  ln  C1 x 1    w x  w  C1 x 1 Pero w  u ' 

du , por lo que dx

du  C1 x 1  u  C1  x 1dx  u  C1 ln x  C2 dx

Si tomamos por ejemplo, C1  1 y C2  0 , hallamos que u  ln x . Ya que

y2 ( x)  ux 1 , entonces y2 

ln x x

Por lo tanto, la solución general de la ED:

y  c1 x1  c2 x1 ln x 2. Obtener la solución general de la ecuación diferencial

 y '' w y  0, con w constante .

2

a. y  c1senwx  c2 cos wx b. y  c1senwx  c2 cos wx c. y  c1wx  c2 wx 2 d. y  c1e wx  c2 cos wx e. y  c1senwx  c2 ln wx Solución Proponiendo y  erx , se obtiene la ecuación característica r 2  w2  0

Cuyas soluciones son

r   w2   wi  0  wi  raices complejas  Por lo tanto la solución general es Ecuaciones Diferenciales

Página 2

Examen de Reducción Orden y Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes y  e0 x  c1senwx  c2 cos wx   y  c1senwx  c2 cos wx La solución general se puede expresar así

y  Asen  wx    , con A &  constantes Para obtener la última expresión se efectúa el desarrollo siguiente: Se tiene: y  c1senwx  c2 cos wx

Se quiere: y  Asen( wx   )  A( senwx cos   sen cos wx)   ( A cos  ) senwx  ( Asen ) cos wx

Igualando la expresión que se quiere con la que se tiene se llega a: ( A cos  )senwx  ( Asen ) cos wx  c1senwx  c2 cos wx

Igualdad que se cumple si 2 2 2   A cos   c1  A cos   c1  2 2  2  Asen  c2  A sen   c2 

Sumando las ultimas igualdades:

A2  cos 2   sen 2   c12  c22  A2  c12  c22  A  c12  c22 De A cos   c1 , se tiene :

cos  

c1 c1  A c12  c22

De Asen  c1 , se tiene :

sen 

c2 c2  A c12  c22

Ecuaciones Diferenciales

Página 3

Examen de Reducción Orden y Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes Donde

A  c12  c22 cos   sen 

c1 c  c22 2 1

c2 c12  c22

Ecuaciones Diferenciales

Página 4