Examen Rapido 6 Ecuaciones Diferenciales

2012

Profesor: Gerson Villa Gonzรกlez

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones Diferenciales

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: gvilla@ipn.mx

Ecuaciones Diferenciales Nombre: Grupo: Ecuaciones Diferenciales

Calificación Fecha: 05-10-2012

Instrucciones:  

La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 40% El reactivo tiene un valor de 5 puntos

Problemas Problema 1 Resuelva la respectiva ecuación diferencial por el método de los coeficientes indeterminados.

y '' y ' 12 y  e4 x Solución Obtenemos el polinomio característico o ecuación auxiliar de la ecuación diferencial:

y ''  m 2 y '' y ' 12 y  0  y'  m m 2  m  12  0 

 m  4  m  3  0 Por lo tanto las raíces son

m1  4, m2  3, Por lo tanto la solución complementaria será:

y  C1e4 x  C2e3x Encontramos un operador diferencial que anule a la función g ( x)  e

4x

, el cual

es:

 D  4  e4 x Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales Por lo tanto la nueva ecuación diferencial no homogénea en términos del operador es el siguiente:

 D  4 D  4 D  3   D  4 e4 x Obteniendo el polinomio característico de la nueva ecuación homogénea tendremos:

 D  4 2  D  3  0   m  4  m  4  m  3  0  m1  m2  4, m3  3 Por lo tanto la solución es:

y  C1e4 x 

C2 xe4 x

 C3e3 x

Solución Particular

De acuerdo a lo anterior la solución particular sería:

y p  Axe4 x  y ' p  4 Axe4 x  Ae4 x y '' p  16 Axe4 x  4 Ae4 x  4 Ae4 x  y '' p  16 Axe4 x  8 Ae 4 x Sustituyendo la primera y segunda derivada tenemos en la ecuación no homogénea:

y '' y ' 12 y  e4 x  16 Axe4 x  8 Ae4 x 4 Axe4 x  Ae4 x 12 Axe4 x  e4 x  7 Ae4 x  e4 x  7 A  1  A  1 / 7 Por lo tanto la solución general es:

1 y  C1e4 x  xe4 x  C3e3 x 7 Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales Problema 2 Resuelva la respectiva ecuación diferencial por el método de los coeficientes indeterminados.

y '' 25 y  6senx Solución Obtenemos el polinomio característico o ecuación auxiliar de la ecuación diferencial:

y '' 25 y  0

y ''  m 2 y'  m



m 2  25  0  m  25  m  1 25  m  5i Por lo tanto las raíces son

m1  5i, m2  5i, Por lo tanto la solución complementaria será:

y  C1 cos5x  C2sen5x Encontramos un operador diferencial que anule a la función g ( x)  6senx , el cual es:

 D2  1 6senx Por lo tanto la nueva ecuación diferencial no homogénea en términos del operador es el siguiente:

 D2  1 D2  25   D2  1 6senx Obteniendo el polinomio característico de la nueva ecuación homogénea tendremos:

Ecuaciones Diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales

 D2  1 D2  25  0   m2  1 m2  25  0  m1  i m2  i m3  5i m4  5i Por lo tanto la solución es:

y  C1 cos x  C2senx  C3 cos5x  C4sen5x Solución Complementaria

De acuerdo a lo anterior la solución particular sería:

y p  A cos x  Bsenx  y ' p   Asenx  B cos x y '' p   A cos x  Bsenx Sustituyendo la primera y segunda derivada tenemos en la ecuación no homogénea:

y '' 25 y  6senx   A cos x  Bsenx  25  A cos x  Bsenx   6senx  24 A cos x  24 Bsenx  6senx  24 B  6  B  6 / 24  B  1 / 4 24 A  0  A  0 Por lo tanto la solución general es:

1 y  senx  C3 cos5 x  C4sen5 x 4

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