Examen rapido ecuaciones diferenciales encontrando una segunda solucion

Problema 1 De la siguiente ecuación diferencial a través del método largo encuentre una segunda solución Y2  X 

y´´25 y  0; y1 ( x)  e5 x Solución Si y  u ( x) y1 ( x)  u ( x)e

5x

, según la regla del producto, además se supone

y´ u ( x)5e5 x  e5 xu´( x)  y´ 5ue5 x  e5 xu´( x) Además tenemos que la segunda derivada

y´´ 5  u ( x)e5 x  5 xu´( x)   e5 xu´´( x)  u´( x)5e5 x  y´´( x)  25u ( x)e5 x  5e5 xu´( x)  e5 xu´´( x)  5u´( x)e5 x  y´´( x)  e5 xu´´( x)  10e5 xu´( x)  25u ( x)e5 x Sustituyendo en la ecuación diferencial homogénea tenemos

y´´25 y  0; y1 ( x)  e5 x e5 xu´( x)  10e5 xu´( x)  25u ( x)e5 x  25u ( x)e5 x  0  e5 xu´´( x)  10e5 x u´( x)  0  e5 x u´´( x)  10u´( x)   0 Consideramos

u´´( x)  10u '( x)  0 Puesto que e5 x  0 Además tenemos que:

w  u´, w´ u´´ Por lo tanto la ecuación diferencial de segundo orden se transforma en una ecuación lineal de primer orden

w´10w  0

10 x

Usamos el factor integrante e

y así podemos escribir que

d 10 x d e w  0   e10 x w   0dx  dx dx 10 x e w  c1  w  c1e 10 x Integramos ambos lados para conocer a u

 u´  c1e

10 x

dx  u  

c1 10 x e  c2 10

Por lo tanto se tiene que

 c  y2 ( x)  u ( x) y1 ( x)  y2 ( x)  ue5 x  y2 ( x)    1 e 10 x  c2  e5 x   10  c  10 c y2 ( x)  1 e 5 x  c2e5 x   1 10  c2  0  y2  e5 x Método Alternativo  p ( x ) dx e  y2  y1 ( x)  2 dx  y1 ( x)

y2  e

5x



 0 dx e 

e 

5x 2

dx  y2  e5 x 

1 10 x

e

dx  y2  e5 x  e 10 x dx 

e5 x 10 x e 5 x y2   e  y2   10 10

 e5 x  c1  0 Consideramos que y  c1 y1  c2 y2  y  c1e  c2     10  c2  10 5x

Tenemos que

y  e5 x  y2

Problema 2 De la siguiente ecuación diferencial homogénea. Determine su solución general

 y  emx  y´´4 y´3 y  0   y´ me mx   y´´ m 2e mx  m 2e mx  4me mx  3emx  0  emx  m 2  4m  3  0  m 2  4m  3  0   m  3 m  1  0 Por lo tanto tenemos las siguientes raíces reales son

y  c1em1x  c2em2 x  y  c1e3 x  c2e x