Expresiones algebraicas by Gerson Villa Gonzalez

[EXPRESIONES ALGEBRAICAS] Unidad I

Expresiones Algebraicas Simplificación. Multiplicación y División de Fracciones Algebraicas Definición Una fracción algebraica es un cociente de dos expresiones algebraicas. Las siguientes son algunas funciones algebraicas

5 3 x 1 xy  3 5 , , 2 , x x  1 x  2 x  1 / 3 x  xy  y Como la división por cero esta excluida como operación, una fracción en que el denominador es cero no tiene significado o diremos que la fracción no esta definida. De lo anterior podemos afirmar que: 5 no esta definida si x  0 x 3 no esta definida si x  -1 x 1 x2  5 no esta definida si x  3 o x  -3 x2  9

Una fracción algebraica esta reducida a sus términos más simples cuando el numerador y el denominador no tienen más factor en común que la unidad. Para lograr la simplificación de una fracción algebraica, haremos uso del siguiente teorema: ax a  bx b

Que le llamaremos cancelación. Si las literales representan polinomios, tenemos un método de simplificación de fracciones. Fundamentos Matemáticos

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Ejemplos 1. Reducir

3a  3 a sus términos mas simples 3

3  a  1 y para la simplificación 3 utilizamos el teorema de cancelación, o sea: Factorizando el numerador

3a  3 3 a  1   a 1 3 3 2. Simplificar a sus términos mas simples 2 2 x 4  6 x3  8 x 2 x  x  6 x  8  6 x 4  24 x 2 6 x2  x2  4

x 2  x  4  x  2   2 6 x  x  2  x  2  

 x  4 6  x  2

3. Reducir a sus términos mas simples 2 2 a 3  b3  a  b   a  ab  b   a 2  b2  a  b  a  b 

a 2  ab  b 2  ab

4. Reducir a sus términos mas simples x 2  5 xy  6 y 2  x  6 y  x  y   y 2  x2   x2  y 2 

 x  6 y  x  y    x  y  x  y   x  6y  x  6y   x  y y  x 

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Algunos de los errores que se cometen al simplificar fracciones se basan en la siguiente igualdad incorrecta: k a a  falso cuando k  0 k b b

Así que

18 8  10 10   2 13 8  5 5

Entonces la simplificación de una fracción mediante la sustracción de una misma cantidad en el numerador y el denominador, es incorrecta. Otros errores se producen en la incorrecta aplicación de la ley distributiva. Esto se basan en la siguiente igualdad:

K a  a falso K Procediendo correctamente podemos escribir:

1 1 1 a  K  a    K    a   1  Verdadero K K K K Ejemplos

x2  4 x  4 4 no es igual a 5. 2 x  4x  3 3 5x  7 7 6. no es igual a 7 sino a 1  5x 5x 3x  4 4 7. no es igual a  4 3x  1 1 Para efectuar la multiplicación de fracciones, haremos uso del teorema a c ac   b d bd

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Este teorema nos dice que el producto de dos o mas fracciones es una nueva fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y el denominador, el producto de sus denominadores. Ejemplos

x  4 4x  8  x  4  4 x  8  2  2 x  8 x  16  2 x  8   x 2  16  4 x 2  8 x  32  3 2 x  8 x 2  32 x  128

Esta respuesta no es muy útil y tampoco la mas simple. La multiplicación se podría efectuar factorizando todos los numeradores y denominadores para después cancelar todos los factores comunes al numerador y al denominador. Y, finalmente, se usara el teorema de la multiplicación, así: 4  x  2 x  4 4x  8 x4  2   2 x  8 x  16 2  x  4   x  4  x  4  2



 x  4  4  x  2 2  x  2  2 2  x  4  x  4  x  4  x  4 1

x 2  3x  10 2 x  10  x  5  x  2  2  x  5     x 2  25 6 x  12  x  5  x  5  6  x  2  1

9. 

 x  5 x  2   2   x  5  x  5 x  5  6   x  2  3



1 3

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El siguiente teorema noes útil en la división de fracciones algebraicas. Teorema 1. a c a/b a d      b, c, d  0  b d c/d b c

Por medio de este teorema, observamos que toda división de fracciones la podemos transformar en una multiplicación para ello, hay que invertir el divisor y luego multiplicar con el dividendo. Ejemplos 10.

3x  15 12 x  18  x3 4 x  12 3x  15 12 x  18 3x  15 4 x  12    x3 4 x  12 x  3 12 x  18 3  x  5  4  x  3   x3 6  2 x  3 2



 3   x  5  x  3   4   2  x  5  x  3   6   2 x  3 2 x  3 2

11.

a3  27 a3  3a 2  9a  2 a3  27 a  3a  9

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a 3  27 a 3  3a 2  9a  2 a 3  27 a  3a  9 3 a  27 a 2  3a  9  3  a  27 a 3  3a 2  9a  a  3  a 2  3a  9  a 2  3a  9    a  3  a 2  3a  9  a  a 2  3a  9 

 a  3  a 2  3a  9  a 2  3a  9a    a  3  a 2  3a  9   a   a 2  3a  9a  

a 3 a(a  3)

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Ejercicios Encontrar para cada fracción que se da a continuación, los valores de las variables que hacen que la fracción no este definida 3 x7 4y  5 2. 2 y 1

a2  a  2 3. 2a 2  5a  3 1 4. 2  72x 2 9 5. 3 y  2 y2  y Decir si las siguientes igualdades de fracciones son correctas o no:

a b 1 ba

x2 x  y2 y

4 4  3 3 a a 9.  b b 3 3  10. 2 2

8. 

En los siguientes ejercicios, reducir a sus términos más simples. Para todos los casos el denominador es diferente de cero

8 x5 1. 12 x 6  4 x5 27a3  9a 2 2. 27a3  81a 4

45 4 5

2 x 2 y  xy 2 2 xy 2  y 3

a 2  b2 0 a 2  b2

8b  16b 2 32b3  16b 2

x2  9 9  3. 2 x 4 4

1. 2.

3 m  n  m  n 4.   p  q  3 p  q

6x  3 3 1  6x

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 y  1

y

 1

x  16 x4

x4  x2 7. 3 x  x2 Página 7

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3a  9b 6a  18b

x2  2 x x2  4 x

12.

2 y 2  y3  8  4 y 12  a  a 2 a 2  2a  8 6  5b  b 2

22.

b 2  7b  8

b 2  4b  5

9 x2  1

x y



23.

9 x 2  3x  2

x2  y 2 2 x y

16.

y 4  16

4b 2  20b 3

15.

4a 2  8a  3

21.

x2  y 2

14.

6a 2  7 a  3

20.

a3  1 yx

13.

4 x2  4 x  3

19.

x 2  16 x 2  8 x  16 ay  a  y  1

11.

2 x 2  5 x  12

18.

x3  y 3 6x  6 y

10.

ax  ay  bx  by am  bm  an  bn

17.

 xy  x

2 y 2  11y  12

24. 4

y

4 y2  9

x4  y 4

En los siguientes ejercicios, efectuar las operaciones indicadas y simplificar. 1.

30 y 2 x  8x 5 y 6 x2

8a3b  2. 4a 2b 3x

3. 9 xy 2 

2 3xy

6a3 11b 2  4. 33b 15a 4 Fundamentos Matemáticos

5. 6.

15 z 2 27 xy 2



9 xy 45 z

6ab 2a  8c 12c

16 y 2 x 7. 256 y  3 5  10 xy 2 8. 2 xy 4

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17 x 2 34 x 9.  54ab 9ab2

10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

5a 4 x3 8b 2 y



22.

a3 x 4 4by

x3 y 4 12 18 xy   36 x 4 y 3 2 8a 4b4 7ab2



44a 4b3 28a 2b2

x y x 2  xy

7a5b3

y2 y 4  49 1 x



1  a2

4 x2  9 2 x  3  x  3y 2x  3

20.

3x  18   x  6 4x

x y 3

x2  y 2



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27.

y 2  xy

 6 y 2  42

x y x y

25.

26.



24.

3x 2  y 2  49 6 y  42 a 3  b3



a3  ab2

a3  ab2 a 2b  b3

2 x 2  5 x  3 3x 2  7 x  2 6 x2  5x  1

x2  x  6

x2  6 x  9

x2  6x  5

11ab

y 2  y x2  1  x 1 y 1

19.

21.



x  y 2b  a  a  2b 2 x  2 y

 1  a3 x 2  1 x y yx 18.  a  b 2a  2b

17.

23.



 x 2  7 x  12 3x 2  2 x  1

7 x  21 x 2  16 y 2



x 2  5 xy  4 y 2 4 x 2  11x  3

2 x 2  3xy  y 2 2 x 2  3xy  2 y 2



x 2  y2 2 x 2  5 xy  2 y 2

 a2 2a  1  a 28.     1  a 2 1  a  1  a  

29.

x4  y 4

 x  y 2



y2 x2  y 2



x y xy  y 2

30.

3 x   x     9  x2  3  x 3  x 

31.

a

b



 a 2  ab a 2  ab   2   b  ab b2  ab   

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32.

3 x x  8 x  15 2

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

1 5 x

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