Expresiones Algebraicas- Primera Parte by Gerson Villa Gonzalez

[EXPRESIONES ALGEBRAICAS] Unidad I

Expresiones Algebraicas Simplificación. Multiplicación y División de Fracciones Algebraicas Definición Una fracción algebraica es un cociente de dos expresiones algebraicas. Las siguientes son algunas funciones algebraicas 5 3 x 1 xy  3 5 , , 2 , x x  1 x  2 x  1 / 3 x  xy  y

Como la división por cero esta excluida como operación, una fracción en que el denominador es cero no tiene significado o diremos que la fracción no esta definida. De lo anterior podemos afirmar que: 5 no esta definida si x  0 x 3 no esta definida si x  -1 x 1 x2  5 no esta definida si x  3 o x  -3 x2  9

Una fracción algebraica esta reducida a sus términos más simples cuando el numerador y el denominador no tienen más factor en común que la unidad. Para lograr la simplificación de una fracción algebraica, haremos uso del siguiente teorema: ax a  bx b

Que le llamaremos cancelación. Si las literales representan polinomios, tenemos un método de simplificación de fracciones. Fundamentos Matemáticos

Página 1

[EXPRESIONES ALGEBRAICAS] Unidad I

Ejemplos 1. Reducir

3a  3 a sus términos mas simples 3

3  a  1 y para la simplificación 3 utilizamos el teorema de cancelación, o sea: Factorizando el numerador

3a  3 3 a  1   a 1 3 3 2. Simplificar a sus términos mas simples 2 2 x 4  6 x3  8 x 2 x  x  6 x  8  6 x 4  24 x 2 6 x2  x2  4

x 2  x  4  x  2   2 6 x  x  2  x  2  

 x  4 6  x  2

3. Reducir a sus términos mas simples 2 2 a 3  b3  a  b   a  ab  b   a 2  b2  a  b  a  b 

a 2  ab  b 2  ab

4. Reducir a sus términos mas simples x 2  5 xy  6 y 2  x  6 y  x  y   y 2  x2   x2  y 2 

 x  6 y  x  y    x  y  x  y   x  6y  x  6y   x  y y  x 

Fundamentos Matemáticos

Página 2

[EXPRESIONES ALGEBRAICAS] Unidad I

Algunos de los errores que se cometen al simplificar fracciones se basan en la siguiente igualdad incorrecta: k a a  falso cuando k  0 k b b

Así que

18 8  10 10   2 13 8  5 5

Entonces la simplificación de una fracción mediante la sustracción de una misma cantidad en el numerador y el denominador, es incorrecta. Otros errores se producen en la incorrecta aplicación de la ley distributiva. Esto se basan en la siguiente igualdad: K a  a falso K

Procediendo correctamente podemos escribir: 1 1 1 a  K  a    K    a   1  Verdadero K K K K

Ejemplos x2  4 x  4 4 5. 2 no es igual a x  4x  3 3 5x  7 7 6. no es igual a 7 sino a 1  5x 5x 3x  4 4 7. no es igual a  4 3x  1 1

Para efectuar la multiplicación de fracciones, haremos uso del teorema a c ac   b d bd

Fundamentos Matemáticos

Página 3

[EXPRESIONES ALGEBRAICAS] Unidad I

Este teorema nos dice que el producto de dos o mas fracciones es una nueva fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y el denominador, el producto de sus denominadores. Ejemplos

x  4 4x  8  x  4  4 x  8  2  2 x  8 x  16  2 x  8   x 2  16  4 x 2  8 x  32  3 2 x  8 x 2  32 x  128

Esta respuesta no es muy útil y tampoco la mas simple. La multiplicación se podría efectuar factorizando todos los numeradores y denominadores para después cancelar todos los factores comunes al numerador y al denominador. Y, finalmente, se usara el teorema de la multiplicación, así: 4  x  2 x  4 4x  8 x4  2   2 x  8 x  16 2  x  4   x  4  x  4  2



 x  4  4  x  2 2  x  2  2 2  x  4  x  4  x  4  x  4 1

x 2  3x  10 2 x  10  x  5  x  2  2  x  5     x 2  25 6 x  12  x  5  x  5  6  x  2  1

9. 

 x  5 x  2   2   x  5  x  5 x  5  6   x  2  3



1 3

Fundamentos Matemáticos

Página 4

[EXPRESIONES ALGEBRAICAS] Unidad I

El siguiente teorema noes útil en la división de fracciones algebraicas. Teorema 1. a c a/b a d      b, c, d  0  b d c/d b c

Por medio de este teorema, observamos que toda división de fracciones la podemos transformar en una multiplicación para ello, hay que invertir el divisor y luego multiplicar con el dividendo. Ejemplos 10.

3x  15 12 x  18  x3 4 x  12 3x  15 12 x  18 3x  15 4 x  12    x3 4 x  12 x  3 12 x  18 3  x  5  4  x  3   x3 6  2 x  3 2



 3   x  5  x  3   4   2  x  5  x  3   6   2 x  3 2 x  3 2

11.

a3  27 a3  3a 2  9a  2 a3  27 a  3a  9

Fundamentos Matemáticos

Página 5

[EXPRESIONES ALGEBRAICAS] Unidad I

a 3  27 a 3  3a 2  9a  2 a 3  27 a  3a  9 3 a  27 a 2  3a  9  3  a  27 a 3  3a 2  9a  a  3  a 2  3a  9a  a 2  3a  9    a  3  a 2  3a  9a  a  a 2  3a  9 

 a  3  a 2  3a  9a  a 2  3a  9a    a  3  a 2  3a  9a   a   a 2  3a  9a  

a 3 a(a  3)

Ejercicios Encontrar para cada fracción que se da a continuación, los valores de las variables que hacen que la fracción no este definida 3 x7 4y  5 2. 2 y 1

a2  a  2 3. 2a 2  5a  3 1 4. 2  72x 2 9 5. 3 y  2 y2  y

Decir si las siguientes igualdades de fracciones son correctas o no: 1.

45 4 5

a 2  b2 2. 2 0 a  b2 Fundamentos Matemáticos

Página 6

[EXPRESIONES ALGEBRAICAS] Unidad I

x2  9 9  x2  4 4

3 m  n  m  n   p  q  3 p  q

6x  3 3 1  6x a b 6. 1 ba

x2 x  y2 y

4 4  3 3 a a 9.  b b 3 3 10.  2 2

8. 

En los siguientes ejercicios, reducir a sus términos más simples. Para todos los casos el denominador es diferente de cero 8 x5 1. 12 x 6  4 x5 27a3  9a 2 2. 27a3  81a 4 2 x 2 y  xy 2 3. 2 xy 2  y 3

8b  16b 2 4. 32b3  16b 2 5. 6.

 y  1

y

 1

x  16 x4

Fundamentos Matemáticos

Página 7

[EXPRESIONES ALGEBRAICAS] Unidad I

x4  x2 x3  x 2 3a  9b 8. 6a  18b 7.

x2  2 x 9. 2 x  4x 10. 11.

x3  y 3 6x  6 y

 x  16  x4

Fundamentos Matemáticos

Página 8