FUNDAMENTOS
[FRACCIONES PARCIALES] MATEMATICOS Fracciones Parciales Es un Proceso algebraico que se utiliza para descomponer una expresión racional como
3x 7 en fracciones parciales a este procedimiento se le llama descomposición en x 5 x 1 fracciones parciales.
P( x) , Q( x) 0 es una fracción impropia o Q ( x) una expresión racional propia esto es el grado de P ( x ) es menor que el grado de Q ( x ) . También supondremos una vez más que los polinomios P ( x ) es menor que el grado de Q ( x ) . También supondremos una vez más que los polinomios P ( x ) y Q ( x ) no tienen factores comunes. Por comodidad supondremos que la función racional
A continuación examinaremos cuatro pasos de descomposición de P ( x ) / Q ( x ) en fracciones parciales. Estos casos dependen de los factores en el denominador Q ( x ) . También supondremos una vez más que los polinomios P ( x ) y Q ( x ) no tienen factores comunes. Caso 1
Q ( x ) Solo contiene factores lineales no repetidos si se puede factorizar por completo el denominador en factores lineales.
a( x) (ax1 b1 )(ax2 b2 )...... an x bn Donde todos los ai x bi , i 1, 2.......n son distintos (es decir, no hay factores iguales), entonces se pueden determinar constantes reales únicas C1 , C2 ,...........Cn , tales que:
C3 P ( x) C1 C2 ... Q ( x ) a1 x b1 ax2 b2 axn bn En la práctica usaremos las letras A, B, C ........ en lugar de los coeficientes con subíndice
C1 , C2 , C3 ...........Cn . El Ejemplo siguiente ilustra este primer caso. Ejemplo 1 Descomponer en fracciones parciales la siguiente función
2x 1 x 1 x 3 Se puede escribir de la siguiente forma Profesor: Gerson Villa González
Página 1
FUNDAMENTOS
[FRACCIONES PARCIALES] MATEMATICOS
2x 1 A B x 1 x 3 x 1 x 3 2 x 1 A( x 3) B( x 1) 2 x 1 Ax Bx 3 A B
Por lo tanto obtenemos las siguientes dos ecuaciones
A B 1
(1)
3A B 1
(2)
Sumando la ecuación (1) y (2) Obtenemos A 3 / 4 sustituyendo este valor en la ecuación 1 tenemos B 5 / 4 Por consiguiente la descomposición que se busca es
2x 1 3/ 4 5/ 4 ( x 1)( x 3) x 1 x 3 Caso 2
Q ( x ) Contiene factores lineales repetidos Si el denominador Q ( x ) contiene un factor lineal repetido ( ax b) n , n 1 entonces si se pueden determinar constantes reales únicas C1 , C2 ,......., Cn tales que la descomposición de
P ( x ) / Q ( x) en fracciones parciales contenga los términos:
Cn C1 C2 ... n 2 ax b ax b ax b Ejemplo 2 Descomponer en Fracciones Parciales
6x 1 x 2 x 1 3
Profesor: Gerson Villa González
Página 2
FUNDAMENTOS
[FRACCIONES PARCIALES] MATEMATICOS
6x 1 A B C D 2 3 x 2 x 1 x x x 2x 1 3
6 x 1 Ax 2 (2 x 1) Bx(2 x 1) C (2 x 1) Dx 3 6 x 1 2 Ax 3 Ax 2 2 Bx 2 Bx 2Cx C Dx 3 6 x 1 (2 A D ) x 3 (2 B A) x 2 (2C B ) x C De lo anterior resultan 4 ecuaciones las cuales son las siguientes:
2A D 0
(3)
2B A 0
(4)
2C B 6
(5)
C 1
(6)
Haciendo el algebra adecuada en las ecuaciones obtenemos lo siguiente:
A 8, B 4, C 1, D 16 La descomposición en fraccione parciales es:
6x 1 8 4 1 16 2 3 x 2 x 1 x x x 2x 1 3
Caso 3. Factores Cuadráticos irreducibles y no repetidos Si el denominador Q ( x ) contiene factores cuadráticos irreducibles no repetidos ai x 2 bi x ci , se pueden encontrar constantes reales únicas A1 , A2 ......... An , B1 , B2 ,......., Bn tales que la descomposición de P ( x ) / Q ( x ) en fracciones parciales contenga los términos
An x Bn A1 x B1 A2 x B2 ... 2 2 a1 x b1 x c a2 x b2 x c2 an x 2 bn x cn Ejemplo 3 descomponer en fracciones parciales
4x Ax B Cx D 2 2 2 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 2
4 x Ax B 2 Ax 2 3 Ax Bx 2 2 Bx 3B Cx3 Cx Dx 2 D 4 x ( A B) x3 (2 A B D) x 2 (3 A 2 B C ) x (3B D) Por lo tanto resultan 4 ecuaciones las cuales son: Profesor: Gerson Villa González
Página 3
FUNDAMENTOS
[FRACCIONES PARCIALES] MATEMATICOS
AC 0
(7)
2A B D 0
(8)
3 A 2B C 4
(9)
3B D 0
(10)
Haciendo el algebra adecuada de las ecuaciones tenemos:
A 1, B 1, C 1, D 3 La descomposición en fracciones parciales es:
4x x 1 x3 2 2 2 ( x 1)( x 2 x 3) x 1 x 2 x 3 2
Caso 4. Q ( x ) Contiene factores cuadráticos irreducibles repetidos Si el denominador Q ( x ) contiene un factor cuadrático, irreducible repetido (ax 2 bx c) n , n 1 , entonces se pueden encontrar constantes reales únicas A1 , A2 ,......., An y B1 , B2 ,....., Bn tales que la descomposición de P ( x ) / Q ( x ) en fracciones parciales contenga los términos
An x Bn A1 x B2 A2 x B2 ... 2 n 2 2 ax bx c ax 2 bx c ax bx c Ejemplo 4 Descomponer
x
x2 2
4
2
x
x2 2
4
2
en fracciones parciales
Ax B Cx D x 2 4 x 2 4 2
x 2 Ax B( x 2 4) Cx D
x Ax 4 Ax Bx 4 B D 2
3
2
Se obtienen las ecuaciones siguientes
A0
B 1 4A C 0
(11)
4B D 0
Profesor: Gerson Villa González
Página 4
FUNDAMENTOS
[FRACCIONES PARCIALES] MATEMATICOS Haciendo el álgebra adecuada en las ecuaciones obtenemos
A 0, B 1, C 0, D 4 La descomposición en fracciones parciales queda de la siguiente manera:
x
x2 2
4
2
1 4 x 4 x 2 4 2 2
Nota. En toda descripción anterior se supuso que el grado del numerador P ( x ) es menor que el grado del denominador Q ( x ) . Sin embargo si el grado de P ( x ) es mayor o igual al grado de
Q ( x ) entonces P ( x) / Q ( x) es una fracción impropia. Todavía se puede hacer descomposición de ella en fracciones parciales, pero el proceso comienza dividiendo los polinomios hasta que se llegue a un cociente polinomial y una fracción propia. Por ejemplo
Fracción impropia
10 x 1 x3 x 1 Fracción propia se trabaja solo con el residuo x 3 2 x 3x x( x 3)
Profesor: Gerson Villa González
Página 5