2012
Fundamentos Matemรกticos
Profesor: Gerson Villa Gonzรกlez
Fundamentos Matemรกticos
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL GRUPOS: 1PM1 gvilla@ipn.mx
Fundamentos Matemáticos Nombre: SOLUCIÓN Grupo: 1PM1 Fundamentos Matemáticos
Calificación Fecha:12-04-2012
Instrucciones: •
La realización de este examen tiene un peso sobre la calificación del 60%
Problemas propuestos Uso de identidades fundamentales Utilice identidades fundamentales para simplificar la expresión. Hay más de una forma correcta para cada respuesta.
3 sec x − tan x Solución Utilizamos un conjugado en el denominador
3 sec x + tan x 3 ( sec x + tan x ) • = sec x − tan x sec x + tan x sec 2 x − tan 2 x 3 ( sec x + tan x ) = 1 = 3 ( sec x + tan x )
Verifique la identidad
csc ( − x )
sec ( − x )
= − cot x
Solución Utilizamos la propiedades de propiedades de funciones pares e impares
csc(− x) = − csc x sec(− x) = sec x
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Fundamentos Matemáticos csc(− x) 1/ sen ( − x ) = sec(− x) 1/ cos(− x) cos(− x) = sen(− x) cos x = − senx = − cot x Problema de Ley de Senos Distancia. Un bote navega al este, paralelo a la línea costera, a una velocidad de 10 millas por hora. En un instante dado, el rumbo hacia el faro es S70°E y 15 minutos después el rumbo es de S63°E (vea la figura). El faro esta ubicado en la línea costera. ¿Cuál es la distancia desde el bote hasta la línea costera?
N
O 70°
d
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E
63°
S
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Fundamentos Matemáticos Solución
1 10 hr = millas 4 4
En 15 minutos el barco ha viajado d = v • t = (10mph )
θ = 180 − ( 90° + 20° ) = 70° θ = 180 − 70 = 110° θ = 180° − (110° + 63° ) = 7° ó
θ = 180° − 20° − (90° + 63°) θ = 7° 10 / 4 y = sen7° sen 20° y ≈ 7.0161 d 7.0161 d ≈ 3.2millas sen 27° =
Problema de Ley de Cosenos Distancia. Dos barcos zarpan de puerto a las 9:00 a.m. Uno navega con rumbo de N53°O a 12 millas náuticas por hora y el otro navega con rumbo S67° O a 16 millas náuticas por hora. Aproxime la distancia a la que se encuentran al mediodía.
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Fundamentos Matemáticos Solución
d1 = v • t = (12millas / hr )( 3hr ) = 36millas
d 2 = v • t = (16millas / hr )( 3hr ) = 48millas
C = 180° − 53° − 67° = 60° c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C = 362 + 482 − 2 ( 36 )( 48 )( 0.5 ) = 1872 c ≈ 43.3millas
Sistema de ecuaciones de 1 ó 2 Variables Resuelva en forma grafica o algebraica los siguientes sistemas de ecuaciones
3 x − 7 y + 6 = 0 2 2 x −y =4 Solución
3 x − 7 y + 6 = 0 Ecuación 1 2 2 Ecuación 2 x − y = 4 Despejando y =
3x + 6 Ecuación 3 7
3x + 6 Substituyendo en la ecuación 2 tenemos: x − =4 7 2
2
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Fundamentos Matemáticos Desarrollando la última ecuación
9 x 2 + 36 x + 36 x2 − =4 49 49 x 2 − ( 9 x 2 + 36 x + 36 ) = 196 40 x 2 − 36 x − 232 = 0 4(10 x − 29)( x + 2 = 0 ⇒ x =
29 , −2 10
Sustituyendo en la ecuación 3 tenemos:
29 3x + 6 3 ( 29 / 10 ) + 6 21 ;y= = = 10 7 7 10 3 x + 6 3 ( −2 ) + 6 = =0 x = −2; y = 7 7 29 21 Soluciones : , , ( −2, 0 ) 10 10 x=
Problemas de Sistemas de Ecuaciones Análisis del punto de equilibrio. Una compañía de software invierte 16,000 dólares para producir un paquete que se venderá por 55.95 dólares. Cada unidad puede producirse por 35.45 dólares. a. ¿Cuántos paquetes debe vender para lograr el punto de equilibrio? b. ¿Cuántos debe vender para una ganancia de 60,000 dólares? Solución
C = 35.45 x + 16, 000, R = 55.95 x a) R=C 55.95 x = 33.45 x + 16, 000 20.50 x = 16, 000 x ≈ 781unidades b) P = R −C 60, 000 = 55.95 x − (35.45 x + 16, 000) 60, 000 = 20.50 x − 16, 000 76, 000 = 20.50 x x ≈ 3708unidades Fundamentos Matemáticos
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Fundamentos Matemáticos Sistemas de ecuaciones con tres variables Resuelva el sistema de ecuaciones por Gauss Jordan y verifique cualquier solución
3x − 5 y + 5z = 1 5 x − 2 y + 3 z = 0 7 x − y + 3z = 0
Solución
3x − 5 y + 5z = 1 5 x − 2 y + 3z = 0 7 x − y + 3z = 0 6 x − 10 y + 10 z = 2 5 x − 2 y + 3 z = 0 2 Eq.1 7 x − y + 3z = 0 x − 8y + 7z = 2 0 x + 38 y − 32 z = −10 -5Eq.1 + Eq.2, −7 Eq.1 + Eq.3 0 x + 55 y − 46 z = −14 x − 8y + 7z = 2 0 x + 2090 y − 1760 z = −550 55Eq.2, −38Eq.3 0 x − 2090 y + 1748 z = 532 x − 8y + 7z = 2 0 x + 2090 y − 1760 z = −550 Eq.2 + Eq.3 0 x + 0 y − 12 z = −18 −12 z = −18 ⇒ z =
3 2
3 38 y − 32 = −10 ⇒ y = 1 2 1 3 x − 8(1) + 7 = 2 ⇒ x = − 2 2 3 1 Solución : − , −1, 2 2
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Fundamentos Matemáticos Problemas de sistemas de ecuaciones de tres ó más variables Mezcla Acida. Un químico necesita 10 litros de una solución acida al 25%, misma que se mezclara a partir de tres soluciones que sus concentraciones son 10%, 20% y 50%. ¿Cuántos litros de cada solución satisfacen la condición? a. Utilice 2 litros de la solución al 50% b. Utilice la menor cantidad posible de la solución al 50% c. Utilice la mayor cantidad posible de la solución al 50% Solución a) Se usan dos litros de solución al 50%: Por lo tanto hacemos x = concentración de solución al 10%, y = concentración de solución al 20%:
x+ y =8⇒ y =8− x
Ecuación 1
x(0.10) + y (0.20) + 2(0.50) = 10(0.25)
Ecuación 2
Sustituyendo la Eq.1 en la Eq.2 0.10 x + 0.20(8 − x) + 1 = 2.5 0.10 x + 1.6 − 0.20 x + 1 = 2.5 −0.10 x = 0.1 Por lo tanto tendremos que:
x = 1 Litro al 10%de solución y = 7 Litros al 20% de solución Nos dan 2 litros de solución al 50% lo cual no es posible b) Para usar la menor cantidad de solución al 50%, el químico no debe utilizar la concentración al 10% Hacemos: x = Concentración al 20% y = Concentración al 50%
x + y = 10 ⇒ y = 10 − x Ecuación 1 x(0.20) + y (0.50) = 10(0.25) Ecuación 2 Sustituyendo la Eq.1 en la Eq.2 x(0.20) + (10 − x)(0.50) = 10(0.25) x(0.20) + 5 − 0.50 x = 0.25 −0.30 x = −2.5
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Fundamentos Matemáticos Tenemos que:
1 Litros al 20% de solución 3 2 y = 1 Litro al 50% de solución 3
x=8
c) Para usar la mayor cantidad posible de solución al 50%, el químico no deberá usar la concentración al 20% Por lo tanto tendremos:
x = Concentración al 10% y = Concentración al 50%
x + y = 10 ⇒ y = 10 − x
Ecuación 1
x ( 0.10 ) + y (0.50) = 10(0.25) Ecuación 2 Sustituyendo la Eq.1 en la Eq.2 0.10 x + 0.50(10 − x) = 2.5 0.10 x + 5 − 0.50 x = 2.5 −0.40 x = −2.5 Tenemos que:
1 Litros al 10% de solución 4 3 y = 3 Litro al 50% de solución 4
x=6
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