GUIA DEL SEGUNDO DEPARTAMENTAL DE FUNDAMENTOS MATEMATICOS Agosto-Diciembre 2013
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Trigonometría Analítica Verificación de identidades trigonométricas Verifique la identidad 1.
1 cos 1 cos 1 cos sen
1 2 cos / 2 x tan x 3. sen / 2 x 1 sen cos 4. 2sec cos 1 sen u 2 tan u 5. sec 2 tan u senu 2. cos
2
cos2
Compruebe la identidad 1. sen x cos x 1 2cos x 2cos x 4
4
2
4
2. tan x tan x sec x tan x 5
3
2
3
Resuelva la ecuación 1. 2cos x 1 0 2.
3 csc x 2 0
Problema 1. Angulo de depresión. Determine el ángulo de depresión desde la parte superior de un faro que se encuentra a 76 metros sobre el nivel del agua, hasta la línea de agua de un barco a 3.2 kilómetros de la costa. 2. Trayectoria de un proyectil. El rango de un proyectil disparado en un ángulo con la horizontal y una velocidad inicial de v0 pies por segundo es
1 2 vo sen2 32 Donde r esta medido en pies. Un atleta lanza la jabalina a 75 pies por r
segundo. ¿A qué ángulo deberá lanzarla para que recorra 130 pies?
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Ley de Senos 1. Elevación. Un poste de teléfono de 10 metros proyecta una sombra de 17 metros hacia debajo de una pendiente, cuando el ángulo de elevación del Sol es de 42° (vea la figura). Encuentre , el ángulo de elevación del suelo.
2. Un asta bandera, en ángulo recto con respecto a la horizontal, se ubica en una pendiente que forma un ángulo de 12° con la horizontal. Su sombra es de 16 metros de longitud y apunta hacia la pendiente. El ángulo de elevación desde la punta de la sombra hasta el Sol es de 20°. a. Dibuje un triángulo que represente el problema. Muestra las cantidades conocidas en el triángulo y use una variable para indicar la altura del asta. b. Establezca una relación que incluya la cantidad desconocida c. Determine la altura del asta Ley de cosenos 1. Topografía. Una parcela triangular tiene 115 metros de frente y los otros dos linderos tienen longitudes de 76 metros y 92 metros. ¿Qué ángulos forma al frente con los otros dos linderos? 2. Béisbol. En un diamante de béisbol con lados de 90 pies, el montículo del pitcher está a 60.5 pies del home. ¿Cuál es la longitud desde el montículo del pitcher hasta la tercera base?
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Sistemas de Ecuaciones Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones
2x 3y 0 1. 4 x 3 y z 0 8 x 3 y 3z 0
x 2 y 5z 2 4x z 0
2.
x yzw6 2x 3y w 0 3. 3x 4 y z 2w 4 x 2 y z w 0 Problemas de Sistemas de Ecuaciones 1. Mezcla acida. Un químico necesita 10 litros de una solución acida al 25%, misma que se mezclara a partir de tres soluciones que sus concentraciones son 10%, 20% y 50%. ¿Cuántos litros de cada solución satisfacen la condición? a. Utilice dos litros de la solución al 50% b. Utilice la menor cantidad posible de la solución al 50% c. Utilice la mayor cantidad posible de la solución al 50% 2. Mezcla de Café. Un comerciante de café vende paquetes de 10 libras que consiste de tres sabores. El café con sabor a vainilla cuesta 2 dólares la libra, el de avellana 2.50 dólares la libra y el de moca 3 dólares la libra. El paquete contiene la misma cantidad de café de avellana que café de moca. El costo del paquete de 10 libras es de 26 dólares. ¿Cuántas libras de cada tipo contiene el paquete? Geometría analítica Elipse 1. Arquitectura. Un arco semieliptico sobre un túnel, para un camino en un sentido a través de una montaña, tiene un eje mayor de 50 pies y una altura en el centro de 10 pies. a. Dibuje un sistema coordenado rectangular sobre el bosquejo del túnel con el centro del camino entrando al túnel en el origen. Identifique las coordenadas de los puntos conocidos. b. Encuentre una ecuación del arco semieliptico sobre el túnel.
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c. Usted conduce un camión que tiene un ancho de 8 pies y una altura de 9 pies. ¿Pasara el camión por la abertura del arco? 2. Encuentre los centros, focos y los vértices (recuerde que es posible que sea necesario despejar y obtener dos ecuaciones) a. 12 x 20 y 12 x 40 y 37 0 2
2
b. 36 x 9 y 48 x 36 y 72 0 2
2
3. Determine la forma estándar de la ecuación de la elipse con las características dadas a. Vértices: 0,2 , 4,2 ; puntos extremos del eje menor: 2,3 ,(2,1) b. Centro 0,4 ; a 2c; vértices: 4,4 , 4,4
Parábola 1. Encuentre el vértice, el foco y la directriz de la parábola. a. y 4 x 4 0 2
b. x 2 x 8 y 9 0 2
2. Determine la forma estándar de la ecuación de la parábola con las características dadas y el vértice en el origen a. Eje vertical y pasa por el punto 3, 3 b. Directriz: x 3 Problemas Movimiento de un Proyectil. Considere la trayectoria de un proyectil lanzado horizontalmente con una velocidad de v metros por segundo a una altura de s metros, donde le modelo para la trayectoria es
x2
2v 2 y a , g 9.8m/ seg 2 g
En este modelo (en el que se ignora la resistencia del aire) y es la altura del proyectil (en metros) y x es la distancia horizontal (en metros) que recorre el proyectil. 1. Se lanza una pelota desde la cima de una torre de 23 metros de altura con una velocidad de 9.8 metros por segundo. a. Determine la ecuación de la trayectoria parabólica b. ¿Cuál es la distancia que recorre la pelota horizontalmente antes de golpear el suelo?
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