GUIA DEL SEGUNDO DEPARTAMENTAL DE CÁLCULO VECTORIAL Agosto-Diciembre 2013
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Vectores tangentes unitarios y longitudes de curvas Encuentre el vector tangente unitario a la curva. Además, calcule la longitud de la parte indicada de la curva. 1. r (t ) (6cos2t )i (6sen2t ) j 5tk ,0 t 2. r (t ) 2 t i t 1 j tk ,0 t 3 Parámetro de longitud de arco Determine el parámetro de longitud de arco a lo largo de la curva desde el punto en que t 0 , evaluando la integral t
s v d 0
Luego calcule la longitud de la parte indicada de la curva. 1. r (t ) (cos t tsent )i (sent - t cos t ) j, / 2 t 2. r (t ) (1 2t )i (1 3t ) j (6 - 6t )k , 1 t 0 Curvas Planas Determine T, N,
para las curvas planas de los ejercicios siguientes:
1. r (t ) (lnsect)i tj, / 2 t / 2 2. r (t ) (cos t tsent )i (sent tcost) j, t 0 Curvas Espaciales Determine T, N,
para las curvas espaciales de los ejercicios siguientes:
1. r (t ) (cosht)i (senht) j tk
2. r (t ) cos t i sen t j ,0 t / 2 3
3
Componentes tangencial y normal de la aceleración Determine r ,T , N y B en el valor dado de t . Luego, determine las ecuaciones para los planos osculador, normal y rectificarme en ese valor de t . 1. r (t ) (cost)i (sent) j k, t / 4 2. r (t ) (cos t )i ( sent ) j tk , t 0 Dominio, rango y curvas de nivel a. Determine el dominio de la función b. Determine el rango 1
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c. d. e. f.
1.
Describa las curvas de nivel Determine la frontera del dominio Determine si el dominio es una región abierta, cerrada o ninguna de las dos Decida si el dominio está o no acotado
f ( x, y) y / x 2
2. f ( x, y ) e
x2 y 2
Límites con dos variables Encuentre los límites de los siguientes ejercicios: 1. 2.
lim
x2 y2 1
lim
e x y
x , y 3,4
x , y 0,ln 2
Límites con coeficientes Calcule los límites de los ejercicios. Primero reescriba las fracciones de otra forma 1.
x2 y 2 x , y 1,1 x y lim x y
2.
lim
x , y 4,3
x y 1 x y 1
x y 1
Derivadas parciales cruzadas Verifique que wxy wyx 1. w e x ln y y ln x x
2. w xseny ysenx xy Calculo de derivadas parciales de segundo orden Encuentre todas las derivadas parciales de segundo orden de los siguientes ejercicios 1. h( x, y) xe y 1 y
1
2. s( x, y) tan ( y / x) Derivación implícita 2
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1. Determine el valor de z / x
en el punto (1,1,1) , si la ecuación
xy z 3 x 2 yz 0 define a z como función de las dos variables independientes x y y , y la derivada parcial existe. 2. Determine el valor de x / z en el punto (1, 1,3) si la ecuación xz y ln x x2 4 0 define a x como una función de las dos variables independientes y z , y la derivada parcial existe. Regla de la cadena: dos o tres variables independientes a. Exprese z / u y z / v como funciones de u
y v , use la regla de la
cadena y exprese z directamente en términos de u y de v antes de derivar.
b. Luego evalué z / u y z / v en el punto dado u, v
1. w xy yz xz, x u v, y u v, z uv;
u, v 1/ 2,1
Teoría y ejemplos 1. Cambio de dimensiones de una caja. Las longitudes a,b y c de las aristas de una caja rectangular cambian con el tiempo. En el instante en cuestión, a 1m / s, y dc / dt 3m / s . ¿Qué valores tienen las razones de cambio instantáneas del volumen V y del área de la superficie total S en ese instante? ¿La longitud de las diagonales interiores de la caja, aumenta o disminuye?
Evaluación de integrales dobles Trace la región de integración, invierta el orden de integración y evalué la integral 2 2
1.
2 y senxydydx 2
0 x 3
2.
1
0
3
e y dydx
x /3
Volumen debajo de una superficie z f ( x, y ) 1. Determine el volumen del solido en el primer octante acotado por los planos coordenados, el cilindro x y 4 , y el plano z y 3 2
2
3
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Evaluación de integrales polares
Cambie la integral por una integral polar equivalente. Luego evalué la integral polar. 1
1.
1 x 2
1 1 x 2 1
2.
1
2
1 x2 y 2
2
dydx
4 x2 y 2 2 1 x 2 y 2 dxdy 1 y 0
Extremos de funciones de dos o más variables Hallar los puntos críticos y determinar los extremos relativos. Indicar los puntos críticos en los cuales el criterio de las segundas derivadas parciales no es concluyente. 1.
f ( x , y ) x f ( x, y ) x 3 y 3
2.
f ( x, y ) x3 y 3 6 x 2 9 y 2 12 x 27 y 19
Hallar los puntos críticos de la función y, por la forma de la función, determinar si se presenta un máximo o un mínimo relativo en cada punto
3.
f ( x, y, z ) x 2 y 3 z 1
4.
f ( x, y, z ) 4 x y 1 z 2
2
4
2
2