GUIA DEL SEGUNDO DEPARTAMENTAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES Agosto-Diciembre 2013
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Aplicaciones de Ecuaciones diferenciales de primer orden 1. El número de supermercados C (t ) en todo el país que usan un sistema de control por computadora de los horarios de salida se describe por medio del problema de valor inicial
dC C 1 0.0005C , t 0 dt C (0) 1 ¿Cuántos supermercados estarán usando dicho sistema cuándo t 10 ? ¿Cuantas empresas se estima que adoptarán el nuevo procedimiento en el futuro? 2. La población P(t ) de un suburbio de una gran ciudad en un instante cualquiera se rige por el problema de valor inicial
dP P(101 107 P) dt P(0) 5000 Donde t se mide en meses. ¿Cuál es el valor límite de la población? ¿En qué momento será la población igual a la mitad de su valor límite? 3. Dos sustancias químicas A y B se combinan para formar una sustancia química C. La rapidez o velocidad de la reacción es proporcional al producto de las cantidades instantáneas de A y B que no se han convertido en sustancia química C. Inicialmente hay 40 gramos de A y 50 gramos de B y por cada gramo de B se usan 2 gramos de A. Se observa que se forman 10 gramos de C en 5 minutos. ¿Cuánto se forma en 20 minutos? ¿Cuál es la cantidad límite de C después de un tiempo largo? ¿Cuánto queda de las sustancias químicas A y B después de un tiempo largo? 4. En una reacción química de tercer orden, el número de gramos X
de un
compuesto obtenido combinando tres sustancias químicas se rige por
dX k X X X dt Resuelva la ecuación suponiendo que
5. El nivel h de agua que fluye por un orificio en el fondo de un tanque cilíndrico está dado por: 1
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dh A 1 2 gh , g 32 pie / seg 2 dt A2 Donde A1 y A2 son las áreas de las secciones rectas del tanque y el orificio respectivamente. Resuelva la ecuación si el nivel inicial de agua es de 20 pies y A1 50 pies y A2 1/ 4 pie 2
2
.¿Cuánto demorara el tanque en
vaciarse? Movimiento Armónico Simple 1. Un resorte está suspendido de un techo. Cuando el resorte se le sujeta una masa que pesa 60 lb, este gira ½ pie. Se saca la masa y una persona, asiéndose del extremo del resorte, empieza a balancearse verticalmente con un periodo de 1 seg, ¿Cuánto pesa la persona? 2. Un peso de 4 lb se sujeta a un resorte cuya constante es 16lb / pie . Calcular el periodo del movimiento armónico simple. 3. Un peso de 32 lb estira un resorte de 2 pies. Determine la amplitud y el periodo de movimiento si el peso se suelta desde un punto que esta 1 pie sobre la posición de equilibrio, con una velocidad inicial dirigida hacia arriba de 2 pie/seg. ¿Cuántas oscilaciones completa habrá realizado el peso después de 4 seg? Movimiento Amortiguado 1. Un resorte de 4 pies de largo mide 8 pies después que se le sujeta un peso de 8 lb. El medio a través del cual el peso ofrece una resistencia numéricamente igual a
2 veces la velocidad instantánea.
Encuentre la ecuación del movimiento si el peso se suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad inicial dirigida hacia debajo de 5 pie/seg. Encuentre el instante en el cual el peso alcanza su desplazamiento extremo desde la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición del peso en dicho instante?
2
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2. Una masa de 1 kg sujeta a un resorte cuya constante es de 16 newton/m y el sistema completo se sumerge en un líquido que comunica a una fuerza de amortiguación numéricamente igual a 10 veces la velocidad instantánea. Determine las ecuaciones del movimiento si a. El peso se suelta, a partir del reposo, desde un punto que está a 1 m bajo la posición de equilibrio. b. El peso se suelta desde un punto que está a 1 m bajo la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 12m/seg. Coeficientes indeterminados Resuelva la ecuación diferencial dada por el método de los coeficientes indeterminados 1. y '' 6 y ' 8 y 3e
2 x
2x
2. y '' 2 y ' y x e
2 x
3. y ''' y '' y ' y xe e x
x
7
Variación de Parámetros Resuelva cada ecuación diferencial mediante variación de parámetros. De un intervalo en el cual la solución general este definida.
1. y '' 3 y ' 2 y sen e 2. 4 y '' 4 y ' y 8e 3. 4 y '' 4 y ' y e
x
x /2
3x
x
1 x2
3