Cálculo diferencial e integral
3.5 REGLA DE L.HOPITAL.
INTEGRACIÓN
Utiliza la regla de LHopital para demostrar o encontrar los siguientes limites. x 1 1 x 1 x 2 1 2 sen x 2 3) lim 0 x 0 x
1) lim
ex x 1 1 x 0 2 x2 ln x 7) lim 10 0 x x x e e x 2 1 9) lim x 0 xsenx x3 1 3 11) lim 2 x 1 x 1 2 5) lim
2 x 1 ln 2 3x 1 ln 3
13) lim x 0
2x2 1 2 x 5 x 2 3 x 5 x 1 4) lim 0 x 1 sen x 2) lim
Evalué las siguientes integrales utilizando las tablas, o por el método de sustitución.
x tan x 2 1 cos x ln x 9 1 lim x 10 x 10
6) lim
1)
e
8)
2)
x e
3)
x e2 x x 2 e2 x dx
Sol.
4)
x
x 2 1 dx
Sol.
5)
x
2 3 x 2 dx
Sol.
6)
x
cos 2 x3 dx
Sol.
7)
8)
9)
x 0
sen3x 3 x 0 tan 5 x 5 x senx 1 12) lim x 3 x cos x 3
10) lim
x2 1
14) lim
x
4x x 2
ln 1 x
1 2
2e x x 2 2 x 2 1 15) lim 16) lim 1 x 0 x 0 x 3 x3 x 2e e 1 2x 17) lim 18) lim 1 x 0 x 2 2x2 2 tan 2 x x 2 cos x 1 19) lim x 2 4 x2 4 1 x 3 1 x 2 x 0 x 3 3x 4 23) lim x 2 x 5 1 cos x 25) lim x 0 x3 ex 27) lim 4 x r 1 3
21) lim
29) lim x 0
e x e x x
x2 4 x x ln ln x 33) lim x x ln x e3 x e 3 x 35) lim x 0 2x 31) lim
37)
lim
x 1
39) lim x 0
2
4.1 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O INMEDIATAS.
1 4x 1 4 20) lim x 0 x 3 ln 1 x 2 22) lim x 0 x 0 e cos x e3 x 1 24) lim x 0 x x tan x 26) lim x 0 x3 t2 1 28) lim t t ln t 3
30) lim x 2
x3 8 x 4 16
2x x 3x senx tan x 34) lim x 0 x3 sec x 36) lim x tan x 2
10)
38) lim
1 3x 1 x
40)
x 0
ln 1 x
ln 1 x 2
x
4
0
2
3 x3 1
2 0 3
0
dx 9 x2 dx
Sol.
x
x 25 2
x
49
13)
x
14)
17) 18) 19)
Sol.
Sol. e 1 1.782
16)
Sol.
1 f x e1 2 x c 2 1 3 x3 1 f x e c 9 1 f x ln x 2 e 2 x c 2 3 1 2 f x x 1 2 c 3 3 1 f x 2 3x 2 2 c 9 1 f x sen 2 x3 c 6 98 32.66 3
e senx cos x dx
12)
15)
dx
x x 2 9 dx
1 x
1 tan x 4 4x
lim
2
Sol.
dx
11)
32) lim
2 x sen x 4x2 1
1 2 x
100
dx
dx
4 9x dx
2
12
Sol.
1 x f x sec 1 c 5 5
Sol.
f x
Sol.
x2 9 dx
1 tan 1 x 50 c 50 x f x sen 1 h c 3
Sol.
1 3x f x sen 1 h c 2 2
Sol.
f x sec 1 h e x c
1 e 1 1 Sol. f t sen 1 3t c 1 9t 2 dt 3 3x 3 Sol. f x sen 1 x 2 c 1 x 4 dx 2 1 Sol. f x sec 1 e x c e2 x 1 dx 3 1 x 1 3 2 x 3 dx f x 6 2 x 3 2 2 2 x 3 2 c 1 1 3x 10 Sol. f x ln c 100 9 x2 dx 60 3x 10 2x
Página 20
Cálculo diferencial e integral
20)
x
21)
x 1 x 2 2 x dx
22)
8
23)
11
24)
3 2 3 x 1 2 c 9 1 Sol. f x ln x 2 2 x c 2 1209 Sol. 28
x 3 1 dx
2
Sol.
x x 1 dx
3
0
dx
f x
2x 3 cos 1 x x 2 dx
Sol.
1
e tan x 1 1 x 2 1 x 26) dx 1 x 1 2 27) ln x dx x 1
25)
28)
x
x 4 1 dx
3
29)
xe
30)
31)
x
6
0
33)
dx
cos x
32)
x2
2
1
e dx x2 dx x 4x e
2
x
34)
1 e
35)
x 1 ln x
2x
dx
dx
2
36)
1 1
2
37)
38)
e
e
4
1 3 ln x c 3 3 1 4 Sol. f x x 1 2 c 6 2 1 Sol. f x e x c 2 f x 2 senx
1
c
2
0.11718
x
2
yx
Sol.
3)
y 12 2 x 2
y x2
Sol.
4)
y 4 x2
y 3x 2 12
Sol.
5)
y6
6)
La región R acotada abajo por la grafica y x3 y
y x 2 3x
Sol.
arriba por la grafica de y x en el intervalo 0,1
Sol.
f x tan 1 ln x c
8)
Sol. 7)
1 2 u 4 La región R acotada arriba por la gráfica y x3 y
abajo por la gráfica de y x 4 en el intervalo 0,1
1 2 u 20 La región
R
acotada
arriba
por
la
gráfica
y 1 x 1 y abajo por el eje x de en el intervalo 0, 2 Sol. 1.0986 u2 9) La región R acotada a la izquierda por la gráfica
f x e
Sol.
1 f x tan 1 e 2 x c 2
x 2 dx
256 2 u 3 9 2 u 2 32 u 2 128 2 u 3 32 u 2
y x 2 3x
Sol.
cot x
c
f x tan 1 c
7 5 3 2 8 8 x 2 2 x 2 2 x 2 2 c 7 5 3 1 1 1 2 42) 4 9 x 2 dx x 4 9 x 2 2 ln 3x 4 9 x 2 2 c 2 3 3 2 x x x 2 43) e 1 e dx Sol. f x 1 e c 3
41)
1 3 2
2)
f x tan 1 e x c
Sol.
Sol. 1
dx
c
Sol.
Sol.
Sol.
e2 x 39) dx 1 e4 x cos 40) d 1 sen 2
1 x
2
x
y9
f x
f x sen 1e x c
csc x dx
x
f x 2e
y 25 x 2
Sol.
1 sen 1 2 x c 2
2
0
Sol.
dx
1)
e 1 e
0.23865
x
Encuentre el área limitada por las siguientes curvas
Sol.
Sol.
2
x
1 c 25 2 x5 5
4.2 ÁREAS ENTRE DOS CURVAS.
4
ex cot x
Sol. f x
dx
Sol. 0.1469
e2 x 1
2 x
5 6
1
dy dx 4 y2 dx
x4
Sol. 3480
15 sen 2 x cos 2 xdx Sol. 128 x
3
48)
3
1
46)
x 2 1 2 x 3 dx
2
0
1 ln 1 x 2 c 2
x f x sen c 2
f x
Sol.
dx
f x tan 1 x
f x sen 1 x 1 x 2 c
Sol.
45)
Sol.
dx
2
e
Sol. e
Sol.
1 x
47)
Sol. 2
3
1 x
44)
x y 2 y a la derecha por la línea vertical x 4
32 2 u 3 10) La región entre las gráficas x 8 y 2 , Sol.
x y2 8
Sol. 60.3397 11)
y x2 ,
y 2x
12)
x y2 ,
x 25
13)
y x2 ,
y 2x 3
4 2 u 3 500 2 Sol. u 3 32 2 Sol. u 3 Sol.
Página 21
Cálculo diferencial e integral
14) 15) 16) 17)
125 2 u 6 16 2 x 4 y 2 , x 12 y 5 0 Sol. u 3 3 y x 1, y 1 x 1 en 0,1 Sol. ln 2 u 2 2 x y2 ,
x y6
Sol.
y e x . x 1
y ex , x2
18)
y xe
19)
y x 2 x,
,
y 0,
Sol.
x 1
e 1 e
u2
1.0861
26)
4 2 u 3 y x 2 , y x3 2 x Sol. 3.0833u 2 1 17 2 y 2 , y x 2 , x 1, x 2 Sol. u 6 x 33 2 y 2 x, x y 4, y 1, y 2 Sol. u 2 32 2 y x 2 1, y 5, Sol. u 3 32 2 y x 2 , y 4 x, Sol. u 3 9 2 y 1 x 2 , y x 1, Sol. u 2 y 2 4 x, y 2 x 2, Sol. 8 3 u 2
27)
y x,
28)
y x 3 x,
29)
x 4 y y3 ,
30)
y x 4 x2 ,
20) 21) 22) 23) 24)
25)
y 1 x3
y 3 x,
Sol.
x y 4, Sol. 2u 2 1 2 u 2 Sol. 8u 2
y 0,
Sol.
x 0, y 0,
Sol.
16 2 u 3
4.3 SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN. Encuentra el volumen del sólido generado al hacer rotar alrededor del eje indicado la región plana limitada por las curvas dadas.
2)
1 , x 1, x 3, y 0 x y x 2 , y 2, Eje y
3)
y x 2 4 x,
4)
1)
y
y 0,
2 3 u x Sol. 2 u 3
Eje x
y x2 ,
y 2 8 x,
9) 2 x y 12 0, Sol.
Eje y
Sol.
Eje y x 2 y 3 0, 135 3 u 2
10)
x 2 4 y,
y 4,
11)
y 2 x,
y 6,
12)
y x2 ,
y 0, x 1
Eje x
13)
y x2 ,
y 4, x 0
Eje y
Eje x
Sol.
Eje x
Sol.
y 2 x, 2 y x,
Eje y
Sol.
5)
y x2 ,
y 4 x2 ,
Eje x
Sol.
6)
x y2 ,
y x 2 0, Eje y
7)
y x,
x 4, y 0 Eje y
x0
24 3 u 5
x4
512 3 u 5 Sol. 72 u 3
Sol.
2
0.3160u 2
Sol.
8)
Eje x
Sol.
u3 5 Sol. 8 u 3
sòlo en el
primer cuadrante
14)
y 1 x,
y 0, x 0 en 0,1 Eje x
15)
y x2 ,
16)
y 1 x2 ,
y 0,
Eje x
17)
y 1 x2 ,
y 0,
Eje y
18)
y 6 x2 ,
y 2,
Eje y
u3 2 Sol. 8 u 3
19)
y 4,
yx , x0
Eje y
Sol. 8 u 3
20)
y x2 ,
y 0, x 2
Eje y
21)
y 25 x 2 ,
22)
y x2 ,
Sol. 8 u 3 625 3 Sol. u 2 Sol. 16 u 3
23)
x y,
24)
y x3 ,
x 2, y 0
Eje x
25)
x y2 ,
y 2, x 0
Eje y
26)
y 4 x,
y 4x2 ,
Eje x
27)
x
y 4, x 0
Eje y
28)
y x 2 4 x,
29) 30)
y,
1 , x x2 y 2 y
x y2 ,
2
Eje x
y 0,
Eje y
y 8 x2 ,
Eje y
x 2 y 3, x 0 Eje x
Sol.
3
u3
3 u3 10 16 Sol. u3 15
Sol.
Sol.
Sol. u 3 128 3 Sol. u 7 32 3 Sol. u 5 32 Sol. u3 15 Sol. 8 u 3
512 u3 715 2 y 1, x 0 y 3 Eje y Sol. u3 3 16, y 0, x 8 Eje y Sol. 128 3 u 3 Eje x
Sol.
512 3 u 15 64 3 u 15
64 2 3 u 3 72 3 Sol. u 5 128 3 Sol. u 5 Página 22
Cálculo diferencial e integral
4.4 INTEGRACIÓN POR PARTES Utilice el método de integración por partes para encontrar las siguientes integrales. 1)
x
2)
x cos5 xdx
3)
x sen xdx
2
sol.
2
1
sol.
ln x dx
5)
e
2
sen3 ydy
7)
cos x ln senx dx
8)
9)
x e dx x senxdx
sol. 11)
sol.
2
3
cos x c
32 64 62 2 ln 2 ln 2 5 25 125
sol. e x x3 3x 2 6 x 6 c
3 x
3
6 x x cos x 3x 3
2
0 2
13)
x
14)
x e
15)
e
1
x ln xdx
cos xdx
n ax
e
ax
ax
sol.
dx
e
17)
x
18)
x
x 3 1 dx
5
x sec
20)
21)
1
0
dx
x
19)
24ln 2 7 9
1.071
x n e ax n n 1 ax x e dx a a
2
2 x dx
ysen3 ydy x dx e2 x
xe2 x
2 x 1
e senxdx
26)
2 2x x e dx
1
senxdx x
xe 2 dx
sol.
sol. 4 12e2
sol.
x
0
sol. x tan x ln cos x c
2
n
29)
n x ln xdx
30)
e
31)
32)
35)
x x 3 dx tsen2tdt x ln xdx
37)
x
sol. x n cos x n x n 1 cos xdx sol.
dx 2
33)
c
1 2x e 2 cos 3 x 3sen3 x c 13 3 2 3 sol. x 1 2 3x3 2 c 45 2 ln x 4 sol. c x x 1 1 sol. x tan 2 x ln sec 2 x c 2 4 sol. 3 1 3 2 sol. e 4 4
sol.
senbxdx sol.
ax
0
1e dx
39)
1
41)
ln 2 x dx x2
4 x2
0
c
a 2 b2
36)
x
x3
1 n 1 ln x c 2 n 1 e ax asenbx b cos bx
2 32 4 3 x ln x x 2 c 3 9 3 2 sol. x 2 x 3 2 c 5 34) x 2 cos mxdx
5
2
x n 1
sol.
x ln xdx
1
1 e sen1 cos1 1 0.909 2
e2 x 2 sol. 2 x 2 x 1 c 4
x sec xdx x senxdx
27)
1 2x e 2senx cos x c 5
dx
e 2
cos 2 d
ln x
2
38)
40)
x ln x
42)
dx
x3 1
0
3
dx
ln x dx x2
4.5 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS Utilice las diferentes identidades trigonométricas si es necesario para evaluar las siguientes integrales.
cos 3xdx sol.
ln x
0
2
1
cos bx dx
a cos bx bsenbx
2x
sol. x n senx n x n 1 senxdx
a 2 b2
16)
25)
4
0
6 senx c
sol.
2
n
2
sol.
x cos xdx
22)
2
sol. senx ln senx 1 c
x 4 ln x dx
2
1
12)
sol.
xsen x
2
1 2y sol. e 2 sen3 y 3cos3 y c 13 1 1 sol. ln 2 2 2
6)
1
2x
2
ln x dx x2
2
24)
sol. x ln x 2 x ln x 2 x c
2
2y
e
28)
x 2 cos x
4)
10)
1 3 1 x ln x x 3 c 3 9 1 1 xsen5 x cos5 x c 5 25
sol.
ln xdx
23)
1)
2)
1 cos x dx
0
2
cos 2 xdx 2
sol.
sol.
4 3 1 x 2senx sen2 x c 2 4
1 cos 2 x ln cos x c 2 1 2 4) sec x tan xdx sol. tan 2 x c 2 1 5 2 5) sec6 ydy sol. tan y tan 3 y tan y c 5 3 1 3 3 6) tan x sec xdx sol. sec x sec x c 3
3)
cos
2
x tan 3 xdx sol.
e2 x c 4 2 x 1 Página 23
Cálculo diferencial e integral
1 tan 2 x dx sec2 x
7)
8)
3 cos xsenxdx
9)
sen x cos 5
2
sol.
1 sen2 x c 2 1 sol. cos 4 x c 4
xdx
1 2 1 sol. cos3 x cos5 x cos7 x c 3 5 7 10)
2
0
cos3 xdx
11)
sec
12)
tan
4
5 xdx
5
4
sol.
2 3
1 sol. tan 5 x 3 tan 2 5 x c 15
18)
19)
2
0
25) 26) 27) sol.
sen3 4 x cos2 4 x dx
32)
sec
xdx
33)
tan 3 x sec4 x dx
34)
cos
35)
sen
4
3
5
sol.
xdx
5tdt 3
2t cos 2 tdt
5 9 13 1 2 1 cos 2t 2 cos 2t 2 cos 2t 2 c 5 9 3
36)
6 3 sen x cos xdx
38)
dx
39)
6
xdx
41)
2
x cos 4 xdx
43)
x cos xdx cot xsen xdx
x
cos sen 0
42)
0
44)
4
0
37)
sen3 x
40)
1 2 sen5 x sen3 x senx c 5 3 1 sol. sec 4 x cos 4 x c 4 1 sol. tan x tan 3 x c 3 1 sol. sen 4 x c 4 1 1 sol. sen5t sen3 5t c 5 15
sec4 x tan 4 xdx
45)
2
cos5 xdx
2
sen 2 2 ydy
0
0
2
5
cos
4
2
xsen 2 xdx
16
2 dx senx 45 18sen 2 x 15sen 4 x c 45 sex cos x sen 2 x senx dx sol. ln senx 2senx c
21)
24)
31)
5
cos5 x
tan
23)
sol.
sen 2 x cos 2 xdx
20)
22)
cos
sol.
xdx
sol. tan 4 x 2 tan 2 x 4 ln cos x c 4 4 4 1 3 13) sec3 x tan xdx sec x c sol. 3 1 1 14) sen3 x cos 2 xdx sol. cos5 x cos3 x c 5 3 3 11 4 5 3 15) sen x cos xdx sol. 384 2 3 4 16) sen 3xdx sol. 0 8 17)
30)
0
3
2
xdx
tan 5 x sec4 xdx
sol. tan x x c
sol.
4.6
Utilice el método de sustitución trigonométrica para evaluar las siguientes integrales.
117 8
1 4 2 tan xdx sol. 4 sec x tan x ln sec x c 1 5 6 sen 2 x cos 2 xdx sol. 12 sen 2 x c 1 2 sol. 6 x sen6 x c cos 3xdx 12 16 2 7 sol. 0 cos xdx 35 5 2 6 sol. 0 sen xdx 32
1)
5
sec xdx sec x tan x ln sec x tan x
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
1
25 x
2)
3)
4)
5)
2
3
dx
sol.
5 25 x 2 dx =5 ln x 1 x 4 2
x x2 9
28)
1 csc2 x dx
29)
sen
2
x cos3 xdx
1 sol. x senx cos x c 2 1 1 sol. sen3 x sen5 x c 3 5
6)
dx
sol.
7)
1
x x
4 x2 9 1 2
x2 9
25 25 x 2
x
sol.
16 4 x 2 dx sol.
x
25 x 2
dx
3
2 c
2
ln x
c
25 x 2 c
x2 4 c
1 tan 1 x x c 2 1 x 2 x 4 sen 1 x 4 x 2 c 2
dx
1 sol. ln 3
dx
sol.
4 x2 9 3 c 2x
x2 9 c 4x
Página 24
Cálculo diferencial e integral
8)
x
9)
10)
11) 12)
1 25 x 2
2
1 1 sen 1 2 x x 1 4 x 2 c 4 2
1 4 x 2 dx =
x
x2 7
sol.
dx
1 x dx x 2
x 7 c 2
1 x 1 1 x2 c x 2
sol. ln
x x 1 2
sol.
1 1 x 1 x 2 2 x ln x 1 x 2 2 x c 2 2
16)
x 2 x dx
1
18)
9 x2 1 2 sen 1 x 2 5 4x x c 2 3 2
30)
x2 1 x2
4 x
x
21)
x
22)
23)
26)
27)
3
dx
x 2 4 dx 1 x 2 dx 1
dx 16 x 2 1 dx 2. x 9
5 x 2 5
2
x3 x 9 dx 2
3
2
c
1 x 1 x 2 ln x 1 x 2 c 2
x
sol.
1 x
sol.
1 ln 2
2
c
5 4 x x 2 dx
x2
dx 8sen 1
16 x 2
1 4x2 dx x
x x 16 x 2 c 4 2
x2
25 x x2
4 9x2
34)
2
36)
1
38)
1
40)
3
42)
6
1
0
0
0
4
25 x x 25 x 2 c sen 1 2 5 2
dx
2
dx
3x 4 9 x 2 2 3x 4 9 x 2 ln 27 4 2
x2 1 dx x
35)
x x 2 4 dx
37)
x 2 1 dx
39)
dx
41)
dx
43)
x3 x2 9 x2 x 9 2
x3
dx x 2 100 t5 dt t2 2 t dt 25 t 2 4x2 9 dx x4 1
x 3 2
3
dx 2
9 4 x2 2 x c 3 3
3 1 2 x 4 2 3x 2 8 c 15 3 1 sol. 1 x2 2 c 3 x sol. sen 1 c 4
sol.
1 x 2
sol. dx
3x3
3
2
c
sol.
5 x2 5 c x5
sol.
1 2 x 18 x 2 9 c 3
sol.
ln
2
dx
x 16 2
9 9 16 x
x2 9 c 2x2
sol. ln x x 2 9 c
1 x2 dx x4
x
x2 1 c x
x
2
9 4x2 3
sol.
2
dx
1
20)
dx
dx
1 2
3
33)
4 x2 c 4x
sol. ln x x 2 1
9 16 x
25)
2
2
sol.
dx
x2 1 dx x2 1
19)
24)
4x
2
17)
sol.
2
x
32)
15)
29)
sol.
sol. ln 4 x ln 2 x ln 1 1 4 x 2 1 4 x 2 c
13)
14)
1 x sec 1 6 3
dx
1 1 x 2 x 1 ln x 2 x 1 x c 2 2
sol.
x2 9 dx x3
28)
31)
x
25 x 2 c 25 x
sol.
dx
x 2 16 x c
Página 25
c
Cálculo diferencial e integral
4.7
FRACCIONES PARCIALES
Utilice el método de fracciones encontrar las siguientes integrales. 1)
x9
x 5 x 2 dx
1 dx x 1 3 4 x 2 4 3) dx 3 2 3 x 2x 2 2 4 y 7 y 12 4) dy 1 y y 2 y 3 2)
5) 6)
3
2
2
parciales
para
sol. 2 ln x 5 ln x 2 c 1 3 ln 2 2 7 2 sol. ln 6 3 27 9 sol. ln 2 ln 3 5 5 sol.
5 x 2 3x 2 1 dx 2 ln x 3ln x 2 c 3 2 x 2x x 3 2 x x 2x 1 1 1 2 1 x x 2 1 x 2 2 dx 2 ln x 1 2 tan 2 c
x4 1 3 x 1 dx ln x 2 2 x 5 tan 1 c 2 2 2x 5 2 1 8) 3 dx x 1 1 1 1 2x 1 sol. ln x 1 ln x 2 x 1 tan 1 c 3 6 3 3 3 9) 2 dx sol. ln x 1 ln x 2 c x x2 x 2 12 x 12 10) dx 5ln x 2 ln x 2 3ln x c x3 4 x 7)
11) 12)
x
2
4x2 2 x 1 dx x3 x 2 x2 1 x3 x dx
sol.
1 ln x 4 x 3 c x
sol. ln
x2 1 c x
x2
1 2 x x ln x 1 c 2 1 1 1 22) 2 dx sol. ln x 2 ln x 2 c 4 4 x 4 1 1 x3 23) 2 dx sol. ln c 3 x x 3x x 24) dx x 1 x 2 1 21)
x 1 dx
1 1 1 sol. ln x 1 ln x 2 1 tan 1 x c 2 4 2 1 1 x2 25) 3 dx ln sol. c 2 x2 1 x x
x 10 3 dx sol. ln 2 x 1 ln x 3 c 2 5x 3 1 1 27) 2 dx sol. ln x 2 ln x 3 c 5 x x6 x 1 28) dx sol. x 2 ln x 1 c x 1 2 x 1 1 8 29) dx sol. ln tan 1 2 0.557 2 1 2 5 4 x x 1 26)
30) 31) 32) sol. 33)
2x
1 x2 x ln 2 tan 1 c 6 x 2 2 3 x 2 3x 4 x3 4 x 2 4 x dx 2 ln x 2 ln x x 2 c 2 x3 4 x 15 x 5 x 2 2 x 8 dx 3 1 x 2 ln x 4 ln x 2 c 2 2 5 x 3 2 x 2 x 1 dx 2 ln 2 x 1 2 ln x 1 c 1 x3 2 x 1 8 0 x 4 4 x 2 3 dx = 4 ln 3 10 x 1 x 2 9 dx
34)
x2 1 2 17) 3 dx sol. ln x c 2 x 1 x 2x x 4 x3 7 x 18) 4 dx x 5x2 4 1 sol. 3ln x 2 ln x 1 x 1 3ln x 2 c 2 x4 1 1 x 19) 3 dx = ln x ln x 2 4 tan 1 c 2 2 2 x x
sol.
1
0
20)
x 2 10 3 2 1 x 1 2 x4 9 x2 4 dx = tan 2 2 tan 2 x c
35)
2
x2 x 4 2 x 2 8 dx
3 dx sol. ln 2 2 x2 5x 2 x4 1 3 x 14) 2 dx sol. x 4 x 8 tan 1 c 3 2 x 4 1 1 1 15) 3 dx sol. ln x ln x 2 4 c 4 8 x 4x 2 x 2x 1 16) dx sol. x c 2 x 1 x 1 13)
sol.
1 1 x sol. ln x 1 ln x 2 9 tan 1 c 2 3 3 1 36) dx 2 x 5 x 1 1 1 1 1 ln x 5 ln x 1 c 36 6 x 5 36
x 2 3x 1 dx 4 5x2 4
37)
x
38)
x 1
39)
6 x 11 2
dx
x2 x 1 dx x 1
Sol.
1 x2 1 1 x c ln tan 2 x2 4 2
Sol. 6 ln x 1 Sol.
5 c x 1
x3 ln x 1 c 2
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