2016
Guía de Calculo Vectorial
PRIMER DEPARTAMENTAL GRUPO: 1GM4
ESIA TICOMAN | IPN
GUIA DE CÁLCULO VECTORIAL
SISTEMA DE COORDENADAS EN TRES DIMENSIONES 1. ¿Cuál de las proyecciones del punto (2,3,5) en los planos xy. yz y xz ? Trace una caja rectangular con vértices opuestos en el origen y en el punto (2,3,5) y con sus caras paralelas a los planos coordenados. Escriba las coordenadas de los vértices de la caja. Encuentre la longitud de la diagonal de la caja. 2. Describa y trace la superficie en 3 representada por la ecuación x y 2 3. Determine si los puntos dados se encuentran en una línea recta. a. K (0,3, 4), L(1,2 2), M (3,0,1) b. A(5,1,3), B (7,9, 1), C (1, 15,11) 4. Encuentre la distancia de (3,7, 5) en cada uno de los siguientes planos y ejes a. El plano xy b. El plano yz c. El plano xz d. El eje x e. El eje y f. El eje z 5. Encuentre la ecuación de la esfera con centro 0,1, 1 y radio 4. ¿Cuál es la intersección con cada uno de los planos coordenados? 6. Encuentre la ecuación de la esfera con centro (6,5, 2) y radio 7 . Describa su intersección con cada uno de los planos coordenados. 7. Encuentre la ecuación de la esfera que pasa por el punto (4,3, 1) y tiene su centro en (3,8,1) . 8. Encuentre la ecuación de la esfera que pasa por el origen y cuyo centro está en 1,2,3 9. Demuestre que la ecuación representa una esfera y encuentre su centro y radio. a. x 2 y 2 z 2 2 x 8 y 4 z 28 b. x 2 y 2 z 2 4 x 2 y c. x 2 y 2 z 2 x y z 1
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d. 2 x 2 2 y 2 2 z 2 4 y 2 z 1 10.Determine lo siguiente: a. Demuestre que el punto medio del segmento de recta de P1 x1 , y1 , z1 a P2 x2 , y2 , z2 es:
x1 x2 y1 y2 z1 z2 , , 2 2 2 b. Encuentre las longitudes de las medianas del triángulo con vértices A(1,2,3), B(2,0,5) y C (4,1,5) 11.Encuentre la ecuación de una esfera si uno de sus diámetros tiene puntos extremos A(2,1, 4) y B (4,3,10) 12.Encuentre la ecuación de la esfera con centro (2,3, 6) y que son tangentes: a. Al plano xy b. Al plano yz c. Al plano xz 13.Escriba las desigualdades para describir las regiones dadas a. El semiespacio formado por los puntos que se encuentran a la izquierda del plano xz b. La caja rectangular sólida que se encuentra en el primer octante acotado por los planos x 1, y 2 y z 3 c. La región formada por los puntos que se encuentran entre (pero no en) las esferas de radio r y R , con centro en el origen donde r R . d. La semiesfera superior sólida de la esfera de radio 2 concentro en el origen. 14.Considere que los puntos P tales que la distancia de P a A 1,5,3 es el doble de la distancia de P a B 6,2, 2 . Demuestre que el
conjunto de esos puntos es una esfera y encuentre su centro y su radio. 15.Encuentre la ecuación del conjunto de puntos equidistantes de los puntos A 1,5,3 y B 6,2 2 . Describa ese conjunto. 16.Encuentre el volumen del solido que se encuentra dentro de las esferas x 2 y 2 z 2 4 x 2 y 4 z 5 0 y x 2 y 2 z 2 4 2
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VECTORES 17.Una mujer camina al oeste en la cubierta de una nave a 3mi/h. La na ve se mueve al norte a 22 mi/h. Encuentre la rapidez y la dirección de la mujer con respecto a la superficie del agua. 18. La decoración festiva que se cuelga en la plaza de un pueblo se sujeta con cuerdas de 3 y 5 m de longitud. La decoración tiene una masa de 5kg. Las cuerdas, sujetas a diferentes alturas, forman ángulos de 52o y 40o con la horizontal. Encuentre la magnitud de la tensión en cada cuerda.
19.Un tendero se amarra entre dos postes que distan 8m entre sí. La cuerda está suficientemente tensa y tiene una curvatura insignificante. Cuando una camisa húmeda de 0.8 kg de masa se cuelga de la parte media de la cuerda, el punto medio de esta baja 8 cm. Encuentre la tensión en cada mitad de la cuerda. 20.La magnitud de la tensión T en cada extremo de la cadena es de 25N. ¿Cuál es el peso de la cadena?
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21.Encuentre, aproximando el grado más cercano, los tres ángulos del triángulo con vértices en el punto dado. P 0, 1,6 , Q 2,1, 3 , R 5,4,2 22.Determine si los vectores dados son ortogonales, paralelos o ninguna de estas dos cosas. a. a 6, 1,5 , b 4,9, 3 b. a 5,3,7 , b 6, 8,2 c. a i 2 j 5k , b 3i 4 j k d. a 2i 6 j 4k , b 3i 9 j 6k 23.Halle los valores de x tales que los vectores 3 x,2 x y 4, x sean ortogonales 24.¿Para qué valores de c el ángulo entre los vectores 1,2,1 y 1,0,c es igual a 60o ? 25.Encuentre el ángulo entre una diagonal de un cubo y una de sus aristas. 26.Halle el ángulo entre una diagonal de un cubo y una diagonal de una de sus caras. 27.Una molécula de metano, CH 4 está estructurada con los cuatro átomos de hidrógeno en los vértices del tetraedro regular y el átomo de carbono en el centroide. El ángulo de enlace es el ángulo formado por la combinación H‐C‐H; esto es, el ángulo entre las rectas que unen el átomo de carbono a dos de los átomos de hidrogeno. Demuestre que el ángulo de enlace es de unos 109.5o (sugerencia tome los vértices del tetraedro como los puntos 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 y 1,1,1 como se ve
1 1 1 en la figura. Así que el centroide está en , , . 2 2 2
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28.Encuentre: a. Un vector ortogonal al plano que pasa por los puntos P, Q, R y b. Encuentre el área del triángulo PQR P 0,0,0 , Q 1, 1,1 , R 4,3,7 P 2,0, 3 , Q 3,1,0 , R 5,2,2
29.Encuentre el volumen del paralelepípedo con aristas adyacentes PQ, PR y PS a. P 1,1,1 , Q 2,0,3 , R 4,1,7 , S 3, 1, 2 b. P 1,1,1 , Q 2,0,3 , R 4,1,7 , S 3, 1, 2
30.Utilice el producto escalar triple para determinar si los puntos P (1,0,1), Q (2,4,6), R (3, 1,2), S (6,2,8) se encuentra en el mismo plano. PLANOS y RECTAS 31.Encuentre ecuaciones paramétricas y ecuaciones simétricas para la recta: 5
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1 a. La recta que pasa por los puntos 0, ,1 y 2,1, 3 2 b. La recta de intersección de los planos x y z 1 y x z 0 32.Determine si las rectas L1 y L2 son paralelas, oblicuas o se cortan. Si se cortan, encuentre el punto de intersección. x 4 y 5 z 1 x 2 y 1 z a. L1 : L2 : 2 4 3 1 3 2 b. L1 : x 1 t , y 2 t , z 3t L2 : x 2 s, y 1 2s, z 4 s 33.Encuentre una ecuación del plano a. El plano que pasa por le punto 1,2,1 y contiene a la recta de intersección de los planos x y z 2 y 2 x y 3z 1 b. El plano que pasa por la recta de intersección de los planos x z 1 y y 2 z 3 y es perpendicular al plano x y 2 z 1 34.Encuentre el punto donde la recta corta al plano a. x 1 2t , y 2t , z 3t ; x y z 1 b. x 1 t , y t , z 1 t ; z 1 2 x y 35.Determine si los planos son paralelos, perpendiculares o ninguna de las dos cosas. Si se cumple lo último, encuentre el ángulo entre ellos. a. 2 x 4 y 2 z 1, 3 x 6 y 3 z 10 b. 2 x 5 y z 3,4 x 2 y 2 z 1 36.Hallar la distancia del punto a la recta dada a. 1,2,3 ; x 2 t , y 2 3t , z 5t b. 1,0, 1 ; x 5 t , y 3t , z 1 2t
37.Halle la distancia del punto al plano a. 2,8,5 ; x 2 y 2 z 1 b. 3, 2,7 ;4 x 6 y z 5
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