[INTEGRALES DE LÍNEA] UNIDAD 3
Integrales de Línea Curvas suaves a trozos (o por partes) Una propiedad clásica de los campos gravitatorios (o gravitacionales) es que, sujeto a ciertas restricciones físicas, el trabajo realizado por la gravedad sobre un objeto que se mueve entre dos puntos en el campo es independiente de la trayectoria que siga el objeto. Una de las restricciones es que la trayectoria debe ser una curva suave a trozos (o por partes). Recuérdese que una curva plana C dada por r (t ) x(t )i y(t ) j, a t b
Es suave si dx y dt
dy dt
Son continuas en
a, b
y no simultáneamente en 0 en
a, b
.
Similarmente, una curva C en el espacio esta dada por r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k , a t b
Es suave si dx dy dz , y dt dt dt
Son continuas en a, b y no simultáneamente 0 en a, b . Una curva
C es suave a trozos (o por partes) si el intervalo a, b puede dividirse en un número finito de subintervalos, en cada uno de los cuales C es suave.
Calculo Vectorial
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Problemas Problema 1 Hallar una parametrización suave a trozos de la trayectoria C
Solución Como C consta de cuatro segmentos de recta C1 , C2 , C3 y C4 , se puede construir una parametrización suave de cada segmento y unirlas haciendo que el ultimo valor de t en Ci coincida con el primer valor de t en Ci 1 como se muestra a continuación. C1 : x(t ) ti C2 : x(t ) 3i
C3 : x(t ) 9 t i C4 : x(t ) 0
Calculo Vectorial
y(t ) 0 j y(t ) t 3 j y(t ) 3 j y(t ) (12 t ) j
0t 3 3t 6 6t 9 9 t 12
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Por lo tanto, C esta dada por 0t 3 ti, 3i t 3 j , 3 t 6 r (t ) (9 t )i 3 j , 6 t 9 12 t j , 9 t 12
Como C1, C2 , C3 y C4
son suaves, se sigue que C
es suave a
trozos. Problema 2 Hallar una parametrización suave a trozos de la trayectoria C .
Solución Como C consta de tres segmentos de recta C1 , C2 y C3 se puede construir una parametrización suave de cada segmento y unirlas haciendo que el ultimo valor de t en Ci coincida con el primer valor de t en Ci 1 como se muestra a continuación. Calculo Vectorial
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C1 : x(t ) ti
C2 : x(t ) 2 t i
y(t ) t j y(t ) 2 t j
0 t 1 1 t 2
Por lo tanto, C esta dada por 0 t 1 ti t j , r (t ) 2 t i 2 t j, 1 t 2
Definición de una integral de línea Si f está definida en una región que contiene una curva suave C de longitud finita, entonces la integral de línea de f a lo largo de C esta dada por
f ( x. y)ds C
n
lim
f ( xi , yi )si
0 i 1
Plano
o
f ( x. y, z )ds C
n
lim
f ( xi , yi , zi )si
0 i 1
Espacio
Siempre que el límite exista. Nota. Como sucede con las integrales vistas anteriormente, para evaluar una integral de línea e sutil convertirla en una integral definida. Puede demostrarse que si f es continúa, el límite dado arriba existe y es el mismo para todas las parametrizaciones suaves de C. Para evaluar una integral de línea sobre una curva plana C dada por r (t ) x(t )i y(t ) j , se utiliza el hecho de que ds r '(t ) dt
x '(t )2 y '(t )2 dt
Para una curva en el espacio hay una formula similar, como se indica en el teorema siguiente. Calculo Vectorial
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Teorema 1 Evaluación de una integral de línea como integral definida. Sea f continua en una región que contiene una curva suave C . Si C está dada por r (t ) x(t )i y(t ) j , donde a t b , entonces b
2 2 f ( x, y)ds f ( x(t ), y(t ) x '(t ) y '(t ) dt C
a
Si C esta dada por r (t ) x(t )i y(t ) j z(t )k , donde a t b , entonces b
2 2 2 f ( x, y, s)ds f ( x(t ), y(t ), z(t ) x '(t ) y '(t ) z '(t ) dt C
a
Obsérvese que si f ( x, y, z ) 1 , la integral de línea proporciona la longitud de arco de la curva C . Es decir: b
1ds r '(t ) dt C
longitud de arco de la curva C
a
Problemas Problema 1 Evaluar la integral de línea a lo largo de la trayectoria dada.
( x y)ds C
C : r (t ) 4ti 3tj,0 t 2
Solución Para empezar se expresa la ecuación de la recta en forma paramétrica: x(t ) 4t , y(t ) 3t,0 t 2
Entonces x '(t ) 4i, y '(t ) 3i , lo cual implica que Calculo Vectorial
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x '(t )2 y '(t )2
42 32 25 5
Por lo tanto, la integral de línea toma la forma siguiente. 2
2 2 ( x y)ds 4t 3t 4 3 dt C
0 2
5tdt 0 2
5t 2 2 0 10
Problema 2 Evaluar la integral de línea a lo largo de la trayectoria dada.
(x
2
y 2 z 2 )ds
C
C : r (t ) sent i cos t j 8t k , 0 t / 2
Solución Para empezar se expresa la ecuación de la recta en forma paramétrica: x(t ) sent , y(t ) cos t , z (t ) 8t ,0 t / 2
Entonces x '(t ) cos ti, y '(t ) senti, z '(t ) 8 , lo cual implica que
x '(t )2 y '(t )2 z '(t )2 cos t 2 sent 2 82 cos 2 t sen 2t
64 1 64 65
Por identidad trigonometrica vale 1
Calculo Vectorial
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Por lo tanto, la integral de línea toma la forma siguiente.
( x y z )ds 2
2
/2
2
C
cos t 2 sent 2 64dt
0
/2
2 2 2 sen t cos t 64t
65 1 64t 2 dt
0
/2
64t 3 65 t 3 0 8 3 65 2 3
65 3 16 2 6
Calculo Vectorial
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