SOLUCION DEL PRIMER DEPARTAMENTAL Calculo Vectorial
SOLUCION DEL PRIMER DEPARTAMENTAL
1. Escriba una desigualdad que determine a los conjuntos de puntos dados. El bloque limitado por los planos z 0 y z 1 (incluyendo a los planos) Solución
0 z 1
2. Describa el conjunto dado mediante una sola ecuación o un par de ecuaciones
El conjunto de puntos en el espacio que están a 2 unidades del punto 0,0,1 y al mismo tiempo, a 2 unidades del punto (0,0, 1) Solución
x 2 y 2 z 1 4 y x 2 y 2 z 1 4 2
2
x 2 y 2 z 1 x 2 y 2 z 1 z 0, x 2 y 2 3 2
2
3. Dibuje los vectores u, v y w con punto inicial y final como sea adecuado para trazar el vector indicado en cada caso.
a) b) c) d)
uv uvw u v uw
Solución El ángulo entre los vectores es de 120° y el vector u es horizontal. Todos ellos son de 1 unidad de largo. Por lo tanto tenemos
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4. Usted jala una maleta con una fuerza las componentes i y j de
F cuya magnitud es F 10lb . Determine
F
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Solución Si
x
es
la
magnitud
de
la
componente
x,
de
entonces
el
3 x x F cos30 10 5 3lb F 2
cos30 Fx 5 3i
y
Si
es
sen30
la
magnitud
de
la
componente
y , entonces el
de
y 1 y F sen30 10 5lb F 2
Fy 5 j 5. ¿Cuáles de las siguientes desigualdades son siempre ciertas, y cuales no siempre lo son? Justifique sus respuestas
u u u b. u 0 0 u 0 a.
Solución Inciso a Es verdad porque, u
a12 a2 2 a32 u u
Inciso b Es verdad porque
i
j
u 0 a1 a2 0 0
k
i
j
a3 0i 0 j 0k 0 y 0 u 0 0 0 a1 a2
k 0 0i 0 j 0k 0 a3
6. Determine las parametrizaciones para las rectas en donde se cortan los planos 4 y 5z 17 a. 5x y 11, Solución
i
j
n1 5i 2 j y n2 4 j 5k n1 n2 5 1
0
4
k 0 5i 25 j 20k 5
los
directores de la parametrización es 1, 3,1 en ambos planos Página 3|5
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Resolviendo las dos ecuaciones para encontrar un punto tenemos
5 x y z 10 4 y 5 z 17
Que los valores obtenidos son x 1, y 3, z 1 Por lo tanto la parametrización es x 1 5t , y 3 25t , z 1 20t
1 1 t , al plano 2 2
7. Calcule la distancia de la recta x 2 t , y 1 t , z
x 2 y 6 z 10 Solución La recta es paralela al plano porque
1 v n i j k i 2 j 6k 1 2 3 0 2 Encontrando un punto sobre la recta, es decir hacemos
1 1 t 1 x 2 t , y 1 t , z t 2 2 1 1 x 2 1, y 1 1, z 1 2 2 x 1, y 0, z 0 S (1,0,0) Encontrando un punto sobre el plano, es decir hacemos y z 0
x 2 y 6 z 10 x 10 P(10,0,0) Encontrando un vector dado los puntos anteriores
PS 9,0,0 9i . La distancia de la recta al plano es
PS
n n
9 9 1 4 36 41
8. Determine el punto de intersección de las rectas x t , y t 2, z t 1 y
x 2s 2, y s 3, z 5s 6 y después determine el plano que determinan estas rectas. Solución Tenemos que
x t 2s 2 t 2s 2 s 1 y t 0 y t 2 s 3 t s 1 Página 4|5
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Entonces z t 1 5s 6 0 1 5 1 6 esto satisface a las ecuaciones por lo tanto las rectas se intersectan cuando s 1 y t 0
el punto de
intersección es x 0, y 2 y z 1 ó P(0,2,1) . Un vector normal al plano determinado por estas rectas es
i
j
k
n1 n2 1 1 1 6i 3 j 3k , donde n1 y n2 son las direcciones de las 2 1 5 rectas, por lo tanto el plano determinado por estas rectas son:
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( y y0 ) 0
6 x 0 3 y 2 3 z 1 0 6 x 3 y 3z 0
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