ECUACIONES DIFERENCIALES Soluci贸n del Primer Examen Departamental
ECUACIONES DIFERENCIALES
1. Ecuación homogénea resuelva mediante una sustitución adecuada a.
x y ln y y ln x dx x Lny Lnx dy 0
Solución A la ecuación diferencial podemos escribir en la forma:
y y x y ln x dx x ln x dy 0.................1 Sea y ux dy udx xdu.......................... 2 Reemplazando 2 en 1 se tiene
x uxln u dx xln u udx xdu 0
Agrupando y simplificando tenemos
dx x ln u du 0 , separando la variables Integrando
dx ln u du 0 x
dx ln u du C , x
Efectuando y simplificando
x y ln x y ln y Cx y
2. Resolver la siguiente ecuación diferencial por Bernoulli
x3 y ydx x dy 0 2 Solución A la ecuación diferencial dada expresaremos así:
dx 1 x3 3 x , multiplicamos por x tendremos lo siguiente dy y 2
x 3
dx 1 2 1 dx 2 x 2 x 3 x 2 1 dy y 2 dy y
Sea z x
2
dz dx 2 x 3 , reemplazando tenemos dy dy
dz 2 dz 2 z 1 z 1 Ecuación lineal en z , luego la solución es dy y dy y
ECUACIONES DIFERENCIALES
SOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
ze
2 dy y
2y dy 2 Lny 2 Lny e 1 dy c dy c , , integrando z e e
simplificando
dy z y 2 2 c x 2 y cy 2 y 3. Resolver por Ricatti la siguiente ecuación diferencial
dy 1 x x 2 y y 2 , donde una solución es y x 2 dx x Solución Sea y x z , la solución de la ecuación diferencial dada, donde z es una función 2
por determinarse, entonces
dy dz reemplazando en la ecuación 2x dx dx
diferencial dada. 2 dz 1 x x 2 x 2 z x 2 z Simplificando tenemos dx x dz 1 x 2 z z 2 Ecuación de Bernoulli dz x
2x
Multiplicando a la ecuación diferencial por z
2
dz 1 x 2 z 1 1 de donde w z 1 se tiene: dx x dw dz , reemplazando obtenemos z 2 dx dx dw 1 dw 1 x2 w 1 x 2 w 1 dx x dx x z 2
Es una ecuación lineal en w e
z 1 e
ln x
x2 3
1 x 2 dx x
1x x2 dx e dx c
x ln x x 1 3 dx c z xe 3 e
ECUACIONES DIFERENCIALES
2
3
x 3 e xdx c 3
SOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
4. Resolver la siguiente ecuación diferencial por variables separables y ' ax by c donde a, b y c son constantes Solución Sea z ax by c
dz a by ' dx
Despejando a y ' tenemos
1 dz y ' a reemplazando en y ' ax by c entonces b dx 1 dz dz dz a bz a z a bz b dx dx dx Separando variables de esta última ecuación tenemos
dz dz dx integrando tenemos dx k , de donde a bz a bz 1 ln a bz x k ln a bz bx bk b e
ln a bz
e
bx bk
a bz ebx ebk a bz cebx constante
b ax by c a cebx 5. Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales indicadas
y ln c e x , y ' e x y
Solución
ex x x y , además y ln(c e ) c e e y ln c e y ' x ce x
Sustituyendo este último término en la ecuación diferencial tenemos
ex ex y' y e x y y ' e x y x ce e 6. Resolver la siguiente ecuación diferencial si es exacta, si no lo es encuéntrelo y resuélvela
1 x y dx x y x dy 0 2
2
Solución
ECUACIONES DIFERENCIALES
SOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES
M 2 y x M 1 x y 2 N x y x N 2 xy 3x 2 x M M Como la ecuación no es exacta y x 2
2x x y 1 M N 1 2 x 2 2 xy 3x 2 2 N y x x y x x y x f ( x ) dx 2 1 f ( x) y e 2 , multiplicando a la ecuación diferencial x x
Sea f ( x)
tenemos
1 1 x 2 y dx y x dy 0 2 x M 1 1 M 2 y y x N y x N 1 x M N Como la ecuación es exacta, entonces y x f x, y f x, y N de donde f ( x, y) tal que M y y x f ( x, y ) 1 1 g '( y) N f ( x, y) xy g ( y) , derivando y x x g '( y ) y x g '( y ) y g ( y )
y2 c 2
Reemplazando
en
la
función tenemos
1 y2 f ( x, y ) 2 xy c , por lo tanto x 2 xy 2 2 x 2 y 2 kx 7. Resuelva la siguiente ecuación diferencial lineal
y ' 2 xy 2 xe x
2
Solución
ECUACIONES DIFERENCIALES
SOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES p ( x ) dx p ( x ) dx q( x)dx c donde p( x) 2 x y q( x) 2 xe x2 ye e
Reemplazando se tiene : 2 _ 2 xdx 2 xdx ye e 2 xe x dx c 2 2 y e x 2 xdx c e x x 2 c por lo tanto
y x2 c e x
ECUACIONES DIFERENCIALES
2
SOLUCIÓN