PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Problema 2 La población de una comunidad crece a razón proporcional a la población en cualquier momento t . Su población inicial es de 500 y aumenta 15% en 10 años. ¿Cuál será la población en 30 años? Planteamiento del Problema Con P P(t ) la población en el tiempo t Con la ecuación diferencial
dP kt dt
y
P(0) P0 500
nosotros
obtenemos d kt e P 0 e kt P c dt P cekt P 500e kt
Si consideramos la condición inicial tenemos lo siguiente P(10) 575 575 10 k e 500 Ln(1.15) Ln e10 k
575 500e10 k 1.15 e10 k
1 ln(1.15) k k 0.013976164 10
Por lo tanto calculamos la población que será en 30 años P(30) 500
30 ln 1.15 10
760años
Problema 3 Los arqueólogos usaron trozos de madera quemada, es decir, de carbón vegetal encontradas en el sitio, para fechar las pinturas prehistóricas y rupestres, en las paredes y los techos de una caverna P á g i n a 1 | 13
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en Lascaux, Francia. Determine la edad aproximada de un trozo de madera, si se encontró que había desaparecido el 85.5% del carbono 14.
Planteamiento del Problema dA kA, dt
Por lo tanto la solución general de esta ecuación diferencial de primer orden: A(t ) A0ekt
Si se ha desintegrado 85.5%, queda 14.5% El punto de partida es, de nuevo A(t ) A0ekt . Para calcular el valor de la constante de decaimiento aplicamos el hecho que A0 / 2 A(5600) 1, el cual es el periodo medio, valor que corresponde A0 / 2 . O sea A0 / 2 A0e5600k .
1
Dotación de radiocarbono. Alrededor de 1950, el químico Willard Libby inventó un método que emplea el carbono radiactivo para determinar las edades aproximadas de fósiles. La teoría de la datación (fechamiento o fechado) con radiocarbono, se basa en el isotopo carbono 14, se produce en l atmosfera por acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. La razón de la cantidad de C-14 al carbono ordinario en la atmosfera parece ser constante y en consecuencia, la cantidad proporcional del isotopo presente en todos los organismos vivos es igual que la de la atmosfera. Cuando muere un organismo la absorción del C-14 sea por respiración o alimentación cesa. Así, si se compara la cantidad proporcional de C-14 presente, por ejemplo en un fósil, con la relación constante que existe en la atmosfera, es posible obtener una estimación razonable de su antigüedad. El método se basa en que se sabe que el periodo medio del C-14 radiactivo es aproximadamente, 5600 años. Por este trabajo, Libby ganó el Premio Nobel de química en 1960. Su método se uso para fechar los muebles de madera en las tumbas egipcias y las envolturas de lino de los rollos del Mar Muerto.
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1 Entonces, 5600k ln ln 2 , de donde k (ln 2) / 5600 0.00012378 2 por consiguiente tendremos el siguiente planteamiento: Por lo tanto la constante de decaimiento k es: k 0.00012378 , Por lo tanto A(t ) 0.145 Ao entonces: A(t ) 0.145 A0 0.145 A0 A0e
0.00012378t
0.145 e0.00012378t Ln(0.145) Ln e 0.00012378t Ln 0.145 t t 15,600años 0.00012378
Mezclas Al mezclar dos filtros a veces se originan ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Cuando describimos la mezcla de dos salmueras, se supone que la razón con que cambia la cantidad de sal, A '(t ) , en el tanque de mezcla tiene una rapidez neta: dA Rapidez con entra la sal (Rapidez que sale la sal) Ri R0 dt
Problema 4 Un tanque contiene 200 litros de agua donde se han disuelto 30g de sal y le entran 4L / min de solución con 1g de sal por litro, bien mezclado de el sale liquido con la misma rapidez. Calcule la cantidad A(t ) de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier instante t . Planteamiento del Problema
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dA Rapidez con entra la sal Rapidez con que sale la sal Ri R0 dt
La concentración de la solución entrante era 4L / min por consiguiente la entrada era: Ri (4L / min) 1g / L 4 g / min
Mientras que salía con la rapidez A A R0 (4 L / min) L / g g / min 200 50
Para hallar A(t ) resolvemos el problema de valor inicial dA A 4 , A(0) 30 dt 50 d Aet /50 4et /50 dt Aet /50 200et /50 C 200et /50 C A t /50 t /50 e e A 200 Ce t /50
Si consideramos la condición inicial A(0) 30 30 200 Ce0/50 30 200 C C 170
Por lo tanto cantidad A(t ) de gramos de sal que hay en el tanque en cualquier instante t será: A 200 170et /50
Circuitos en serie P á g i n a 4 | 13
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Cuando un circuito en serie solo contiene un resistor y un inductor (circuito LR ), la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de las
caídas de voltaje a través de inductor L di / dt y del resistor (iR) es igual al voltaje aplicado, ( E (t )) , al circuito.
Figura 1.
Circuito LR en serie
Con lo anterior se obtiene la ecuación diferencial lineal que describe la corriente i (t ) , L
di Ri E (t ) dt
(1)
La caída de voltaje a través de un capacitor de capacitancia C es q(t ) / C , donde q es la carga del capacitor; por lo tanto, para el circuito en serie de la figura 1 (circuito RC), la segunda ley de Kirchhoff establece Ri
1 q E (t ) C
(2)
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Pero la corriente i y la carga q se relacionan mediante i dq / dt , así la ecuación (2) se transforma en la ecuación diferencial lineal R
dq 1 q E (t ) dt C
(3)
Problema 5 Se aplica una fuerza electromotriz 120,0 t 20 E (t ) 0, t 20
A un circuito en serie LR , en que la inductancia es 20h y la resistencia es de 2 . Determine la corriente, i(0) 0 . Planteamiento del Problema La ecuación diferencial lineal que describe la corriente i (t ) , L
di Ri E (t ) dt
Tomando en cuenta que la inductancia es L 20h y la resistencia R 2 , la ecuación diferencial en el intervalo 0 t 20 es: 20
di 2i 120 dt
Por lo tanto el factor integrante de la siguiente ecuación diferencial es: d t /10 e i 6et /10 dt
e
i 60 c1et /10 .
Si
consideramos
la
siguiente
condición inicial tenemos, i(0) 0 c1 60 e i 60 60et /10 Ahora consideramos t 20 la ecuación diferencial es:
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di 2i 0 por lo tanto el factor integrante de la ecuación diferencial dt d t /10 e i 0 e i c2et /10 es dt 20
Ahora con t 20 , nosotros tenemos 60 60et /10 cet /10 c2e2 60 60e2 por lo tanto c2 60 e2 1 . Por lo
tanto la corriente en i(0) 0 será: 60 60et /10 ,0 t 20; i (t ) 2 t /10 60 e 1 e , t 20
Ley de Newton Enfriamiento Se puede observar que la formulación matemática de la ley empírica de Newton, relativa al enfriamiento de un objeto, se expresa con la ecuación diferencial lineal de primer orden dT k T Tm dt
En que k
(4)
es una constante de proporcionalidad, T (r ) es la
temperatura del objeto cuando t 0 y Tm es la temperatura ambiente; o sea, la temperatura del medio que rodea al objeto. Problema propuesto Problema 1 Un termómetro que indica a 70°F se coloca en un horno precalentado a temperatura constante. A través de una ventana de vidrio del horno,
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1 2 minuto y de 145°F después de 1 minuto. ¿A que temperatura esta el horno? un observador registra que la temperatura es de 110°F después de
Solución Planteamiento del Problema Tenemos la ecuación lineal de primer orden dT k (T Tm ) dt
Usando separación de variables para resolver la ecuación diferencial anterior tenemos que: dT kdt T Tm dT
T T
m
k dt
ln T Tm kt C1 e
ln T Tm
e kt C1 e
ln T Tm
e kt eC1
T Tm C2e kt T C2e kt Tm
Usando la condición inicial T (0) 70 , nosotros encontramos
T (t ) Tm C2e kt 70 Tm C2e
k 0
70 Tm C2 C2 70 Tm Por lo tanto
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T (t ) C2ekt Tm T (t ) 70 Tm ekt Tm
Usando las observaciones que fueron registradas acerca de las temperaturas tenemos 1 T Tm 70 Tm e k /2 110 2 T 1 Tm 70 Tm e k 145
Por lo tanto e k /2 110 Tm / 70 Tm e e k
k /2 2
2
110 Tm 145 Tm 70 T 70 Tm m
110 Tm
2
70 Tm
145 Tm
12100 220Tm Tm2 10150 250Tm Tm2 Tm 390
Problema 2 Un termómetro se lleva al interior de una habitación al exterior, donde la temperatura del aire es de 5F . Después de un minuto, el termómetro indica 55°F, cinco minutos después marca 30°F. ¿Cuál es la temperatura del interior? Solución Planteamiento del Problema De la ecuación diferencial de primer orden dT k (T Tm ) dt P á g i n a 9 | 13
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Asumimos que dT k (T 5) dt
Por lo tanto, aplicando separación de variables a la ED anterior tenemos: dT kdt (T 5) dT (T 5) kdt Ln T 5 kt C1 e
Ln T 5
e kt C1
T 5 e kt eC1 T (t ) 5 C2e kt
Utilizamos las condiciones iniciales del Problema T (1) 55 T (5) 30 T (t ) 5 C2e kt T (1) 55 55 5 C2e 50 C2e k .............(1) 1k
T (5) 30 30 5 C2e
5k
25 C2e5 k ...........(2)
Dividiendo la ecuación (1) entre la ecuación (2) 50 C2e k 2 e 4 k ln 2 ln e 4 k ln 2 4k 5k 25 C2e 1 k ln 2 4 P á g i n a 10 | 13
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Utilizamos la segunda condición para calcular C2 T (t ) 5 C2e kt 30 5 C2e
5k
25 C2e5k
1 5 0.173286795 con k ln 2 25 C2e 4 25 C2 (0.420448207) C2 59.46035575
Por lo tanto en T (0) tenemos: T (t ) 5 C2e kt T (0) 5 59.46035575 e(0)( 0.173286795) T (0) 64.4611
Problema 3 Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es 70F y se lleva al exterior, donde la temperatura es 10F . Después de 1 minuto el termómetro indica 50F . ¿Cuál es la lectura cuando 2 t 1min ? ¿Cuanto tiempo se necesita para que le termómetro llegue a 15F ? Solución Planteamiento del Problema De la ecuación diferencial de primer orden dT k (T Tm ) dt
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Asumimos que dT k (T 10) dt
Por lo tanto, aplicando separación de variables a la ED anterior tenemos: dT kdt (T 10) dT (T 10) kdt Ln T 10 kt C1 e
Ln T 10
e kt C1
T 10 e kt eC1 T (t ) 10 C2e kt
Utilizamos las condiciones iniciales del Problema T (0) 70 T (1 / 2) 50
Con T (0) 70 T (t ) 10 C2ekt 70 10 C2e
0 k
60 C2
Utilizamos la segunda condición para calcular k
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T (t ) 10 C2e kt 50 10 60e
1/2 k
40 60e(1/2) k
40 k 1/2 e 60
2 2 2 1 e(1/2) k ln ln e(1/2) k ln k 3 3 3 2 k 2ln
2 3
Por lo tanto en T (1) tenemos: T (t ) 10 C2e kt T (1) 10 60 e(1)( 0.810930216) 36.66 T (1) 36.66
Por lo tanto en T (t ) 15 tenemos: T (t ) 10 C2e kt 15 10 60 e(t )( 0.810930216) 5 60e 0.810930216t 1 1 e0.810930216t ln ln e0.810930216t 12 12 ln
1 0.810930216t t 3.06min 12
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