[ECUACIONES DIFERENCIALES] Tercer Departamental
Sistemas Masa-Resorte: Movimiento Libre no Amortiguado Ley de Hooke. Supongamos que una masa m esta unida a un resorte flexible colgado de un soporte rígido. La distancia de estiramiento, o alargamiento del resorte, dependerá, naturalmente, de la masa; masas de distintos pesos estiran el resorte distancias distintas. Según la Ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución, F opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento s . En concreto, F ks , donde ks es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. Este esta caracterizado esencialmente por su numero k . Por ejemplo si una 1 1 masa que pesa 10 libras estira pie un resorte, entonces 10 k 2 2 implica que k 20lb / pie . Entonces necesariamente una masa cuyo peso sea de 8 libras estirara el resorte
2 de pie. 5
Segunda Ley de Newton. Después de unir una masa m a un resorte ésta lo estira una longitud s y llega a una posición de equilibrio en la que su peso, W esta equilibrado por la fuerza de restitución ks . Recuerde que el peso se define por W mg , donde la masa se expresa
en
slugs,
kilogramos
o
gramos
y
g 32 ft / s 2 ,9.8m / s 2 o 980cm / s 2 , respectivamente. Como se aprecia
en la figura 1(b), la condición de equilibrio es mg ks ó mg ks 0 . Si la masa se desplaza una distancia x respecto de su posición de equilibrio, la fuerza de restitución del resorte es k ( x s) . Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que actúen sobre el sistema y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento libre), entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta, o resultante, de la fuerza de restitución y el peso:
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m
l
d 2x k ( s x) mg kx mg ks kx dt 2
(1)
l
s
Figura 1.
Sistema Masa - Resorte Movimiento Libre No Amortiguado
El signo negativo de la ecuación (1) indica que la fuerza de restitución del resorte actúa en la dirección opuesta del movimiento. Además, podemos adoptar la convención que los desplazamientos medidos debajo de la posición de equilibrio son positivos.
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Figura 2.
Desplazamiento del sistema masa- resorte
Ecuación diferencial del movimiento libre no amortiguado. Si dividimos la ecuación (1) entre la masa m , obtendremos la ecuación diferencial de segundo orden d 2 x / dt 2 (k / m) x 0 , o sea
d 2x w2 x 0 2 dt
(2)
Donde 2 k / m . Se dice que la ecuación (2) describe el movimiento armónico simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias asociadas con (2) son x(0) x0 , la cantidad de desplazamiento inicial, y x '(0) x1 , la velocidad inicial de la masa. Por ejemplo, si x0 0, x1 0 , la masa parte de un punto abajo de la posición Geología
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de equilibrio con una velocidad hacia arriba. Cuando x1 0 se dice que la masa parte del reposo. Por ejemplo, x0 0, x1 0 , la masa parte del reposo desde un punto ubicado x0 unidades arriba de la posición de equilibrio. Solución y ecuación del movimiento. Para resolver la ecuación (2) observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar m2 2 0 son los números complejos m1 i, m2 i . Así, la solución general sería: x(t ) c1 cos t c2 sent
(3)
El periodo de las vibraciones libres que describe (3) es T 2 / , y la frecuencia es f 1/ T / 2 . Por ejemplo para x(t ) 2cos3t 4sen3t , el periodo es 2 / 3 y la frecuencia es 3 / 2 . El numero anterior indica que la grafica de x(t ) se repite cada 2 / 3 unidades y el ultimo numero indica que hay tres ciclos de la grafica cada 2 unidades o lo que es lo mismo, que la masa efectúa 3 / 2 vibraciones completas por unidad de tiempo. Además se puede demostrar que el periodo 2 / es el intervalo entre dos máximos sucesivos de x(t ) . Tenga en mente que un máximo de x(t ) es el desplazamiento positivo cuando la masa alcanza la distancia máxima debajo de la posición de equilibrio, mientras que un mínimo de x(t ) es el desplazamiento negativo cuando la masa llega a la altura máxima arriba de la posición. Ambos casos se denominan desplazamiento extremo de la masa. Por último, cuando se emplean las condiciones iniciales para determinar las constantes c1 y c2 en la ecuación 3, se dice que la solución particular que resulta es la ecuación del movimiento. Problema 1 Al fijar un contrapeso de 24 lb al extremo de un resorte, lo estira 4 pulg. Deduzca la ecuación del movimiento cuando el contrapeso se Geología
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suelta y parte del reposo desde un punto que está 3 pulg arriba de la posición de equilibrio.
Solución Planteamiento del Problema Como empleamos el sistema técnico de unidades inglesas, las 1 medidas expresadas en pulgadas se deben pasar a pies: 4 pu lg pie 3 1 ; 3 pu lg pie . Ademas, debemos convertir las unidades de peso, que 4 están en libras, en unidades de masa. Partimos de m W / g , y en este caso, m
24 3 1 slug . También según la ley de Hooke, 24 k 32 4 3
implican que la constante del resorte es k 12lb / pie; por tanto, la ecuación: d 2x m 2 kx dt 3 d 2x 3 d 2x 72 x 72 x 0 4 dt 2 4 dt 2 dx 96t 0 dt
1 El desplazamiento y la velocidad iniciales son x(0) , x '(0) 0 , 4 donde el signo negativo en la primera condición es consecuencia de que la masa recibe un desplazamiento en dirección negativa o hacia arriba.
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Entonces
2 96 96 i 16 6 4 6i De modo que la solución general de la ecuación diferencial es: x(t ) c1 cos4 6t c2 sen4 6t
Al aplicar las condiciones iniciales a x(t ) y x '(t ) , se obtienen 1 c1 cos 4 6 0 c2 sen4 6 0 4 1 c1 4 y x´(t ) 4 6c1sen4 6t 4 6 cos 4 6t 1 0 4 6 sen4 6 0 4 6c2 cos 4 6 0 4 0 4 6c2 c2 0
Por lo tanto la solución particular dadas las condiciones iniciales seria:
1 x cos 4 6t 4 Problema 2 Una fuerza de 400N estira 2m un resorte. Después, al extremo de ese resorte se fija una masa de 50 kg y parte de la posición de equilibrio a una velocidad de 10m/s hacia arriba. Deduzca la ecuación del movimiento.
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Solución Planteamiento del Problema Según la ley de Hooke, 400 k 2 implican que la constante del resorte es k 200; por tanto, la ecuación: d 2x m 2 kx dt d 2x d 2x 50 2 200 x 50 2 200 x 0 dt dt dx 4t 0 dt
El desplazamiento y la velocidad iniciales son x(0) 0, x '(0) 10 , donde el signo negativo en la primera condición es consecuencia de que la masa recibe una velocidad en dirección negativa o hacia arriba. Entonces
2 4 4 i 2 2i De modo que la solución general de la ecuación diferencial es: x(t ) c1 cos2t c2 sen2t
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Al aplicar las condiciones iniciales a x(t ) y x '(t ) , se obtienen 0 c1 cos 2 0 c2 sen2 0 0 c1 y x´(t ) 2c1sen 2t 2c2 cos 2t
10 2 0 sen2 0 2c2 cos 2 0 10 2c2 c2 5
Por lo tanto la solución particular dadas las condiciones iniciales seria:
x 5cos 2t x ' 10cos 2t
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