Productos notables o especiales by Gerson Villa Gonzalez

[EXPRESIONES ALGEBRAICAS] Unidad I

Expresiones Algebraicas Productos Notables o Especiales El estudiante debe de ser capaz de:  Identificar los productos notables  Desarrollar los productos notables Existen ciertos productos que se presentan con frecuencia y han sido clasificados como productos notables, los cuales se estudian a continuación. Binomio al Cuadrado Es el producto de un binomio por si mismo, o sea, si a y b son dos expresiones cualesquiera.

 a  b 2   a  b  a  b   a 2  2ab  b2 Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término mas el doble producto del primer término por el segundo termino mas el cuadrado del segundo termino. Ejemplos 1.   2 x  5    2 x   2  2 x  5    5  2

 4 x 2  20 x  25 2

 

y  2.   3 x 2    3 x 2 x 

 

 y  y  2 3x         x  x

 9 x  6 xy  4

y2 x2

Observación. Al sustituir el primer y segundo términos, estos se deben colocar con un signo correspondiente. Fundamentos Matemáticos

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Producto de binomios conjugados Definición. Si

 a  b

es un polinomio cualquiera, entonces

 a  b

será su conjugado. Ejemplos. 3. El conjugado de 3a 2  5ab es 3a 2  5b 4. El conjugado de  a  b   c  es  a  b   c  Si a y b son dos expresiones cualesquiera:

 a  b  a  b   a2  b2 De donde concluimos que el producto de binomios conjugados es igual al cuadrado del primer termino menos el cuadrado del segundo. O bien, que el producto de binomios conjugados es igual a la diferencia de sus cuadrados. Ejemplos







 

5. 3a  2b2 3a  2b2   3a   2b2 2

 9a 2  4b4

2  2 4  2 2 6.  5 xy   5 xy     5 xy      25 x 2 y 2  2 x  x   x x

7.  m  n   2 p   m  n   2 p    m  n    2 p   m2  2mn  n2  4 p 2 2

Binomio al cubo Si  a  b  es un binomio, el cubo de este binomio será  a  b  , que 3

es igual a:

 a  b 3  a3  3a2b  3ab2  b3 Fundamentos Matemáticos

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Un binomio al cubo es igual al cubo del primer término más tres veces el cuadrado del primer término por el segundo, más tres veces el primer termino por el cuadrado del segundo, mas el cubo del segundo termino. Ejemplos

 5 xy  z 3   5xy 3  3 5 xy 2   z   3 5 xy   z 2    z 3 8.





 

 125 x3 y 3  3 25 x 2 y 2   z   3  5 xy  z 2  z 3  125 x3 y 3  75 x 2 y 2 z  15 xyz 2  z 3

 m2  3np    m2   3 m2  3np   3 m2  3np 2  3np 3 9.  m6  3  m4   3np   3  m2  9n 2 p 2   27n3 p3 3

 m6  9m4np  27m2n 2 p 2  27n3 p3

Producto de un binomio por un trinomio Si efectuamos los productos:

 a  b   a2  ab  b2 



y  a  b  a 2  ab  b2



Podemos comprobar que:

 a  b   a 2  ab  b2   a3  b3 Suma de cubos  a  b   a 2  ab  b2   a3  b3 Resta de cubos

Estas expresiones son de mucha utilidad en los cursos de cálculo, por lo que conviene observar que características deben tener binomio y trinomio para que su producto sea una suma o diferencia de cubos: a. En la suma de cubos, el binomio debe ser positivo y, en el trinomio el término central es negativo. Fundamentos Matemáticos

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b. En la diferencia de cubos, al contrario, el binomio es negativo y el trinomio es positivo. c. El trinomio esta formado por el cuadrado del primer termino del binomio, el producto de los dos términos ye l cuadrado del segundo termino. Ejemplos 10.

 x  2   x 2  2 x  4   x3  8

11.

 x  2  x2  2 x  4   x 3   23  x3  8

Ejercicios Obtener el producto indicado 1.  3x  y 

  2 3.  xy 2  z  2 4.  x3  3 y  2 5.  2x 2 y  z 

2. 5 x  2 y 2

6.  5 xyz  1

8.  x  3 y   6

10.

12.

 a  b    c  d 

14.

9.  a  b   c 

 x  y  2 z  w 2

13.

1  7.  xy  z 3  2 

11.

 y  3 y  3  x  y  x  y 

15.

3k 2  73k 2  7

16.

 3ab  53ab  5

17.

 x3  3 y  x3  3 y 

18.

1 3  1 3  xy  z  xy  z  2  2 

19.

 a  b   5  a  b   5

20.

 3h  k   2  3h  k   2

 2c  d  3

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24.

 a  2b  4 a  2b  4  2c  d  3 2c  d  3  a  b    c  d   a  b    c  d   x  y  2z  w x  y  2z  w

25.

5x  2 y 2 

26.

 3x  y 3

21. 22. 23.

29.

 x3  3 y  3 2 xy  z   3  2x2 y  z 

30.

 5xyz  13

31.

1  1 xy  z  4  2

32.



33.

 x  3 y   6

34.

 a  b   c 

35.

 2c  d  33

36.

 a  b    c  d 

37.

 x  y  2 z  w3

38.

 a  1   b  3

27. 28.

39. 40.



2 x2 y3  1

 m  1  m2  m  1

 n  3  n2  3n  9

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41. 42. 43. 44. 45.

 x3  3 y  x6  3x5 y  9 y2   x  2  x2  2 x  4  3x  y   9 x2  3xy  y 2   2 xy  z   4 x2 y 2  2 xyz  z 2   1 2 3 2  1 4 6 1 2 3 2 4  x y  z  x y  x y z  z  2 2  4 

46.

 3xyz  2 9 x2 y 2 z 2  6 xyz  4 

47.

 xy3  x 2 y 6 xy3   1   1   16  4 4   

48.

2  x  y   z   x  y    x  y  z  z 2   

49.

2  2c   d  3  4c 2  2c  d  3   d  3   

50.

2 2  x  y    z  w  x  y    x  y  z  w    z  w    



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

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